Подобные треугольники ОГЭ по математике: теория и все виды заданий

Подобные треугольники в ОГЭ по математике составляют фундамент геометрического блока экзамена и встречаются более чем в трети всех планиметрических номеров. Понимание подобия фигур требуется не только для решения базовых задач первой части, но и является главным инструментом рассуждений во второй части экзамена (модуль «Геометрия» повышенного и высокого уровней сложности).

На этой странице собрана вся необходимая теория по подобным треугольникам: определение, признаки подобия, свойства линейных элементов, отношение площадей и периметров, а также подробный разбор того, в каких конкретно заданиях ОГЭ встречаются подобные треугольники (номера 15, 17, 23, 24 и 25). На платформе Экзамео вы найдёте интерактивные онлайн-тренажёры по всем типам заданий на подобные треугольники с автоматической проверкой ответов и пошаговыми эталонами решений.

Подобные треугольники в ОГЭ по математике: краткая теория

Два треугольника называются подобными ( $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$ ), если их соответствующие углы равны, а сходственные стороны (стороны, лежащие напротив равных углов) пропорциональны.

[Место для иллюстрации: Два подобных треугольника ABC и A1B1C1 с равными углами alpha, beta, gamma и сходственными сторонами]

• Коэффициент подобия ( $k$ ): отношение сходственных сторон двух подобных треугольников:

\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k

• Отношение линейных элементов: периметры, высоты, медианы, биссектрисы, а также радиусы вписанных ( $r$ ) и описанных ( $R$ ) окружностей подобных треугольников относятся строго как коэффициент подобия в первой степени:

\dfrac{P}{P_1} = \dfrac{h}{h_1} = \dfrac{m}{m_1} = \dfrac{l}{l_1} = \dfrac{R}{R_1} = \dfrac{r}{r_1} = k

• Отношение площадей подобных треугольников: площади двух подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

\dfrac{S}{S_1} = k^2

Лемма о прямой, параллельной стороне треугольника

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному:

1. Пусть прямая $MN$ параллельна стороне $AC$ треугольника $\Delta ABC$ ( $M \in AB$ , $N \in BC$ ).

2. Угол $\angle B$ является общим для треугольников $\Delta MBN$ и $\Delta ABC$ .

3. Углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN \parallel AC$ и секущей $AB$ .

4. Следовательно, треугольники $\Delta MBN$ и $\Delta ABC$ подобны по двум углам (I признак подобия).

[Место для иллюстрации: Треугольник ABC с проведённой прямой MN, параллельной стороне AC, отсекающей подобный треугольник MBN]

Три признака подобия треугольников для ОГЭ

Чтобы доказать подобие треугольников в задачах ОГЭ, достаточно подтвердить одно из трёх условий:

Признак подобия

Математическое условие

Где чаще всего применяется в ОГЭ

I признак
(по двум углам)

$\angle A = \angle A_1$ ,
$\angle B = \angle B_1$

Самый частый признак (90% задач ОГЭ): параллельные прямые, вертикальные углы при диагоналях трапеции, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

II признак
(по двум сторонам и углу)

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ ,
$\angle A = \angle A_1$

Задачи с общим углом и пропорциональными отрезками на сторонах угла (задания 23 и 24).

III признак
(по трём сторонам)

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

Задачи, в которых заданы численные значения длин всех сторон двух треугольников (проверка подобия).

В каких заданиях ОГЭ встречаются подобные треугольники

Задачи на подобие треугольников распределены по пяти ключевым номерам экзаменационного КИМа ОГЭ:

Задание 15 (базовая планиметрия)

Задачи на прямую, параллельную основанию треугольника, нахождение отрезков сторон через пропорции, прямоугольные треугольники с высотой, опущенной на гипотенузу, и практические сюжеты (длина тени столба или человека).

Задание 17 (площади фигур)

Задачи на отношение площадей: расчёт площади отсечённого треугольника по коэффициенту подобия через формулу $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$ , задачи на среднюю линию ( $k = 2 \implies \dfrac{S_{\text{бол}}}{S_{\text{мал}}} = 4$ ).

Задание 23 (расчётная геометрия, 2 часть)

Сложные вычисления в трапециях (треугольники при основаниях, образованные диагоналями), параллелограммах, секущих и хордах окружностей. Требует строгого оформления и доказательства подобия.

Задания 24 и 25 (доказательства и олимпиады)

В номере 24 требуется строго доказать подобие двух треугольников через вписанные углы окружности или касательные. В задаче высокой сложности 25 подобие комбинируется с теоремами Менелая, Чевы и окружностями.

Задания на подобные треугольники ОГЭ с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений ключевых экзаменационных задач из открытого банка ФИПИ для 15, 17, 23 и 24 номеров ОГЭ по математике.

Задание 15: Прямая, параллельная стороне треугольника (нахождение отрезка)

Условие: Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$ , пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AC = 18$ , $MN = 12$ , а сторона $AB = 24$ . Найдите длину отрезка $AM$ .

Пошаговое решение:

1) Докажем подобие треугольников:
В треугольниках $\Delta MBN$ и $\Delta ABC$ угол $\angle B$ — общий, а углы $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные при параллельных прямых $MN \parallel AC$ и секущей $AB$ . Следовательно, $\Delta MBN \sim \Delta ABC$ по двум углам (I признак подобия).

2) Составим пропорцию сходственных сторон:

\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{AB}

3) Подставим числовые данные и найдём $BM$ :

\dfrac{12}{18} = \dfrac{BM}{24} \implies \dfrac{2}{3} = \dfrac{BM}{24} \implies BM = \dfrac{2 \cdot 24}{3} = 16

4) Найдём искомый отрезок $AM$ :
Точка $M$ лежит на отрезке $AB$ , поэтому:

AM = AB - BM = 24 - 16 = 8

Ответ: $8$ .

Задание 17: Отношение площадей подобных треугольников (квадрат коэффициента k²)

Условие: Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$ , делит сторону $AB$ в отношении $2 : 3$ , считая от вершины $B$ . Площадь отсечённого треугольника равна $16$ . Найдите площадь исходного треугольника $ABC$ .

Пошаговое решение:

1) Пусть прямая пересекает $AB$ в точке $M$ , а $BC$ в точке $N$ . Треугольник $\Delta MBN \sim \Delta ABC$ по двум углам.

2) Сторона $BM$ составляет $2$ части, а отрезок $MA$ составляет $3$ части. Вся сторона $AB$ треугольника равна $2 + 3 = 5$ частям.

3) Найдём коэффициент подобия треугольников:

k = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{2}{5}

4) Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\dfrac{S_{\Delta MBN}}{S_{\Delta ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}

5) Выразим и вычислим площадь треугольника $ABC$ :

\dfrac{16}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{4}{25} \implies S_{\Delta ABC} = \dfrac{16 \cdot 25}{4} = 4 \cdot 25 = 100

Ответ: $100$ .

Задание 23: Диагонали трапеции и нахождение отрезков (ОГЭ, 2 балла)

Условие: Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $6$ и $14$ , а диагональ $AC = 30$ . Диагонали пересекаются в точке $O$ . Найдите длину отрезка $AO$ .

Пошаговое решение:

1) Докажем подобие треугольников $\Delta BOC$ и $\Delta DOA$ :
• $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные;
• $\angle CBO = \angle ADO$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC \parallel AD$ и секущей $BD$ .
Следовательно, $\Delta BOC \sim \Delta DOA$ по двум углам (I признак подобия).

2) Запишем соотношение сходственных сторон:

\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{CO}{AO} = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7}

3) Выразим отрезок $CO$ через диагональ $AC$ :
Так как $AC = AO + CO = 30$ , то $CO = 30 - AO$ .

4) Составим и решим уравнение:

\dfrac{30 - AO}{AO} = \dfrac{3}{7} \implies 7(30 - AO) = 3AO

210 - 7AO = 3AO \implies 10AO = 210 \implies AO = 21

(Проверка: $CO = 30 - 21 = 9$ ; отношение $9 / 21 = 3 / 7$ ).

Ответ: $21$ .

Задание 24: Доказательство подобия треугольников через хорды окружности (ОГЭ, 2 балла)

Условие: Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$ . Докажите, что треугольники $AMD$ и $CMB$ подобны.

Пошаговое доказательство:

1) Рассмотрим углы $\angle DAM$ (или $\angle DAB$ ) и $\angle BCM$ (или $\angle BCD$ ). Они являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу окружности $\smile BD$ . По теореме о вписанных углах:

\angle DAM = \angle BCM

2) Углы $\angle AMD$ и $\angle CMB$ являются вертикальными углами, образованными пересекающимися прямыми $AB$ и $CD$ . По свойству вертикальных углов:

\angle AMD = \angle CMB

3) Таким образом, в треугольниках $\Delta AMD$ и $\Delta CMB$ две пары соответственных углов равны ( $\angle DAM = \angle BCM$ и $\angle AMD = \angle CMB$ ).

4) По первому признаку подобия (по двум углам):

\Delta AMD \sim \Delta CMB

Что и требовалось доказать.

(Следствие из подобия: $\dfrac{AM}{CM} = \dfrac{MD}{MB} \implies AM \cdot MB = CM \cdot MD$ — теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд).

Задание 15: Высота в прямоугольном треугольнике и подобие

Условие: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит её на отрезки длиной $9$ и $16$ . Найдите длину этой высоты.

Пошаговое решение:

1) Пусть в треугольнике $\Delta ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$ , а $CD \perp AB$ — высота.

2) Высота $CD$ разбивает прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: $\Delta ACD$ и $\Delta CBD$ .
• В треугольнике $\Delta ACD$ : $\angle A + \angle ACD = 90^\circ \implies \angle ACD = 90^\circ - \angle A$ .
• В исходном треугольнике $\Delta ABC$ : $\angle B = 90^\circ - \angle A$ .
Следовательно, $\angle ACD = \angle B$ .

3) Прямоугольные треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta CBD$ подобны по острому углу (I признак подобия):

\Delta ACD \sim \Delta CBD

4) Составим отношение сходственных катетов (противолежащего к прилежащему):

\dfrac{CD}{BD} = \dfrac{AD}{CD} \implies CD^2 = AD \cdot BD

5) Высота есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу:

CD = \sqrt{AD \cdot BD} = \sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12

Ответ: $12$ .

Типичные ошибки в заданиях на подобные треугольники ОГЭ

При решении задач ОГЭ на подобие школьники чаще всего теряют баллы на следующих четырёх моментах:

Отношение площадей как k вместо k²

Если коэффициент подобия равен $2$ ( $k = 2$ ), ошибочно считают, что и площадь большего треугольника в 2 раза больше.

Площади относятся строго как квадрат коэффициента: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2 = 2^2 = 4$ !

Использование отрезка вместо стороны

В пропорции $\dfrac{MN}{AC}$ делят отрезок $BM$ на $AM$ вместо всей стороны $AB$ .

Стороной большого треугольника является вся длина $AB = BM + AM$ , а не её нижняя отсечённая часть $AM$ .

Несоответствие сходственных сторон

Составляют пропорцию наугад, приравнивая несоответствующие стороны.

Сходственные стороны должны лежать строго напротив соответственно равных углов. В задании 23 за неверную пропорцию сразу выставляется 0 баллов.

Отсутствие доказательства подобия в части 2

В задании 23 сразу пишут формулу отношения сторон без предварительного доказательства подобия треугольников.

По критериям ФИПИ необходимо обязательно указать равенство двух углов (например, накрест лежащих и вертикальных) и сослаться на I признак.

Тренажёр по подобным треугольникам в ОГЭ по математике

На образовательной платформе Экзамео собрана полная подборка интерактивных онлайн-тренажёров по всем экзаменационным заданиям с подобными треугольниками: номера 15, 17, 23, 24 и 25 ОГЭ по математике. Решайте задачи онлайн, мгновенно проверяйте свои ответы, изучайте подробные пошаговые подсказки и критерии оформления экспертов ОГЭ, чтобы уверенно забрать максимальные баллы за геометрический блок экзамена!

Задача 1

Подобие треугольников при параллельных прямых

Темы2

Курсы2

Классический прототип задания 15 ОГЭ по геометрии: отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Требуется найти длину отрезка MC (или AM). Вариант 1

Отрезки $PQ$ и $TS$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $PS$ и $QT$ пересекаются в точке $E$ . Найдите $ES$ , если $PQ = 40$ , $TS = 100$ , $PS = 56$ .

Ваш ответ

Задача 2

Прямая, параллельная стороне треугольника

Темы2

Курсы3

Прототип 23 задания ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ на подобие треугольников с подробным обоснованием и пошаговым решениемВариант 1

Прямая, параллельная стороне $PR$ треугольника $PQR$ , пересекает стороны $PQ$ и $QR$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Найдите $QT$ , если $ST = 18$ , $PR = 42$ , $TR = 48$ .

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Подобные треугольники в ОГЭ по математике: краткая теория

Три признака подобия треугольников для ОГЭ

В каких заданиях ОГЭ встречаются подобные треугольники

Задания на подобные треугольники ОГЭ с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в заданиях на подобные треугольники ОГЭ

Тренажёр по подобным треугольникам в ОГЭ по математике

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой