Подобные треугольники - разбор темы, признаки подобия. Геометрия 8 класс

На данной странице мы подробно разберем тему «Подобные треугольники» - одну из важнейших в курсе геометрии 8 класса. Это фундамент, без которого невозможно понять тригонометрию и решать сложные задачи из ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Здесь вы найдете всю необходимую теорию: от определения подобных треугольников до трех признаков подобия, которые нужно знать наизусть. Мы разберем, что такое коэффициент подобия, как работает отношение площадей подобных треугольников и почему оно считается через квадрат, а не через простую пропорцию. Также отдельно остановимся на свойствах подобных треугольников, которые часто проверяют на контрольных работах.

Теория по подобию треугольников

Что такое подобные треугольники?

Рассмотрим определение подобных треугольников и коэффициента подобия из учебника по геометрии за 8 класс.

Определение подобных треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Обозначение: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Простыми словами: подобные треугольники - это фигуры одинаковой формы, но разного размера. Они выглядят как уменьшенная или увеличенная копия друг друга. Представьте две фотографии одного и того же здания, сделанные в разных масштабах: углы у них одинаковые, а все размеры (длина, ширина, высота) изменены пропорционально в одно и то же число раз. Это число и есть коэффициент подобия.

Условия подобия:

$\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ , $\angle C = \angle C_1$
$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k$

Что такое коэффициент подобия ?

Коэффициент подобия $k$ — это число, показывающее, во сколько раз стороны одного треугольника больше (или меньше) соответствующих сторон другого.

Это главная «масштабная единица» в теме подобия. Если $k = 2$ , значит, все стороны первого треугольника в 2 раза больше сторон второго. Если $k = \dfrac{1}{3}$ — значит, первый треугольник в 3 раза меньше второго (или, что то же самое, второй в 3 раза больше первого).

Запомните главное правило: если вы увеличиваете треугольник в раз, то периметр растёт линейно (в $k$ раз), а вот площадь растёт гораздо быстрее, квадратично - в $k^2$ раз. Например, увеличив сторону в 3 раза, вы получите площадь в 9 раз больше.

Три признака подобия треугольников

1️⃣ Первый признак

По двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Ключевое условие $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$

2️⃣ Второй признак

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны - такие треугольники подобны.

Ключевое условие $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$

3️⃣ Третий признак

По трём сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Ключевое условие $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

Таблица признаков подобия для быстрого запоминания

Признак

Условие

Краткое название

Первый признак подобия треугольников

$\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$

По двум углам

Второй признак подобия треугольников

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ , $\angle A = \angle A_1$

По двум сторонам и углу

Третий признак подобия треугольников

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

По трём сторонам

Важные свойства коэффициента подобия

Разберем и запомним применение коэффициента подобия в особых случаях, когда нужно найти периметр, площадь или другие части подобных треугольников в задачах по геометрии 8 класса.

Периметры

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия

$\dfrac{P_1}{P_2} = k$

Если коэффициент подобия $k = 2$ , то периметр большего треугольника в 2 раза больше периметра меньшего.

Площади

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

$\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$

Если коэффициент подобия $k = 2$ , то площадь большего треугольника в 4 раза больше площади меньшего.

Высоты

Отношение сходственных высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия

$\dfrac{h_1}{h_2} = k$

Это же правило работает для медиан, биссектрис и других сходственных линейных элементов.

Частные случаи подобия

В некоторых видах треугольников определить подобие намного проще, чем в треугольнике общего вида и этим нужно пользоваться при решении задач в 8 классе. Разберем их подробнее:

Прямоугольные треугольники

Подобны, если:
• Острый угол одного равен острому углу другого
• Катеты пропорциональны
• Гипотенуза и катет пропорциональны

Равносторонние треугольники

Все равносторонние треугольники подобны между собой, так как у них всегда углы по $60^\circ$ (первый признак подобия треугольников)

Треугольники с параллельными прямыми

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает треугольник, подобный данному

Типичные ошибки при решении задач на подобие треугольников в 8 классе

Задачи на подобие - основные задачи, которые вы должны научиться решать в 8 классе, они будут встречаться в самостоятельных и контрольных работах, а так же на ОГЭ по математике в 9 классе и на ЕГЭ. Поэтому важно понимать, какие ошибки могут возникнуть при решении задач и как их избежать.

Путают сходственные стороны

Неправильно

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{EF}$ (стороны соотносятся в произвольном порядке)

Правильно

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$ (сходственные стороны лежат напротив равных углов)

Неправильное отношение площадей

Неправильно

$\dfrac{S_1}{S_2} = k$ (берут коэффициент без квадрата) - так делать нельзя ни в коем случае

Правильно

$\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$ (отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия)

Тренажёры на подобие треугольников для 8 класса

На платформе Экзамео собраны задачи для 8 класса на тему подобие треугольников. К каждой задаче вы найдете подробное пошаговое решение, которое поможет разобраться с темой и отработать решения задач.

Задача 1

Длина вертикального отрезка в треугольнике через подобие

Темы5

Курсы3

Вариант 1

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Подобие треугольников: прямая, параллельная стороне

Темы2

Курсы3

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на подобие треугольников при пересечении прямой, параллельной стороне. В тренажере заложено 6 разноплановых типов вопросов: нахождение стороны MN, основания AC, площади трапеции AMNC, площади одного из треугольников, а также отрезков AM/BM.Вариант 1

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$ , пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $MN$ , если $AC = 20$ , а площади треугольников $ABC$ и $MNB$ равны 175 и 28 соответственно.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Где используется подобие треугольников в жизни?

Жизненный пример из истории: Древнегреческий учёный Фалес Милетский использовал подобие треугольников, чтобы измерить высоту египетской пирамиды Хеопса. В солнечный день он заметил, что длина его тени равна его росту. Значит, в этот момент любой вертикальный предмет и его тень образуют подобные прямоугольные треугольники. Измерив тень пирамиды, Фалес узнал её высоту — без всяких приборов!

Главная цель этой страницы — чтобы вы не просто зазубрили правила, а поняли логику темы. Подобие — это не магия, а стройная система: если две фигуры имеют одинаковую форму, но разный размер, все их линейные размеры (стороны, высоты, медианы, периметры) меняются пропорционально с одним и тем же коэффициентом. А вот площади меняются уже в квадрате — это ключевой момент, который часто путают.

Материал структурирован так, чтобы вы могли использовать его как шпаргалку перед контрольной работой или как базу для решения задач на признаки подобия треугольников. Все признаки разобраны с пояснениями, частные случаи вынесены в отдельный блок, а типичные ошибки помогут не попасться в ловушки, которые часто встречаются в ученических работах.