Пропорциональные отрезки - теория и задачи с тренажёрами

В этом разделе подробно рассматривается фундаментальная тема «пропорциональные отрезки» по геометрии за 8 класс. В школьном курсе планиметрии понятие пропорциональности отрезков объединяет сразу несколько ключевых геометрических конструкции: пересечение сторон угла параллельными прямыми, деление стороны биссектрисой и опускание высоты на гипотенузу. Изучение этой темы создает прямую логическую связь между свойствами плоских фигур и подготавливает базу для освоения теории подобия треугольников.

Здесь вы найдете разбор всех теорем, в которых фигурируют пропорциональные отрезки треугольника и других фигур: теорема Фалеса о пропорциональных отрезках, свойство, по которому биссектриса делит стороны на пропорциональные отрезки, а также метрические формулы, определяющие пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Отработать тему пропорциональные отрезки 8 класс можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Теоретический справочник: пропорциональные отрезки

Ниже приведены определения, теоремы и формулы, показывающие, как именно проявляются пропорциональные отрезки в различных разделах геометрии 8 класса.

Определение и понятие пропорциональности

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Определение пропорциональных отрезков 🎯

Отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$ , если равно отношение их длин:

\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{CD}{C_1D_1}

Это понятие применяется, когда необходимо сравнить пропорции нескольких элементов фигуры или найти неизвестные длины сторон.

Теорема Фалеса

Первым важнейшим случаем возникновения пропорциональности в геометрии является пересечение секущих прямых параллельными линиями. Теорема Фалеса это важнейшая теорема о пропорциональных отрезках, она применяется в каждой третьей задаче на подобие и с завидной регулярностью встречается в 8 классе и на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ.

Теорема о пропорциональных отрезках (Фалеса):

1. Теорема Фалеса:

Это исходная, «равная» формулировка, которую приписывают самому Фалесу Милетскому.

Если на одной из двух прямых отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой прямой также отложатся равные отрезки.

2. Обобщенная теорема о пропорциональных отрезках:

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки:

\dfrac{OA}{AB} = \dfrac{OA_1}{A_1B_1}

Иными словами параллельные прямые переносят соотношение с одной стороны угла на другую сторону угла

Благодаря теореме Фалеса о пропорциональных отрезках становится возможным деление любого отрезка на заданное число равных или пропорциональных частей с помощью циркуля и линейки.

Интересное про теорему Фалеса

В России и странах постсоветского пространства «Теоремой Фалеса» чаще называют классический вариант (про равные отрезки), а обобщённый — «теоремой о пропорциональных отрезках».

В зарубежных учебниках (англоязычных, европейских) под «Теоремой Фалеса» (Intercept theorem) понимают как раз обобщённый вариант, а классический вариант (с равными отрезками) часто упоминается как её частный случай. Иногда там же «Теоремой Фалеса» называют другое утверждение: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Биссектриса треугольника и пропорциональные отрезки

Второй случай возникновения пропорциональности связан с внутренними линиями треугольника. В геометрии 8 класса доказывается фундаментальное свойство: биссектриса делит стороны на пропорциональные отрезки.

Свойство биссектрисы 🎯

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на пропорциональные отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих сторон треугольника:

\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC}

где $BD$ — биссектриса угла $\angle B$ , а точка $D$ лежит на стороне $AC$ .

Эта теорема связывает биссектрису и пропорциональные отрезки, позволяя находить длины сторон треугольника без измерения углов.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Третий важнейший случай — пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Высота $h_c$ , опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $c$ , делит ее на две проекции катетов $a_c$ и $b_c$ .

Элемент фигуры

Формула (среднее геометрическое)

Суть пропорции

Высота $h_c$

h_c^2 = a_c \cdot b_c \implies h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}

Высота есть среднее пропорциональное между проекциями катетов.

Катет $a$

a^2 = c \cdot a_c \implies a = \sqrt{c \cdot a_c}

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией.

Катет $b$

b^2 = c \cdot b_c \implies b = \sqrt{c \cdot b_c}

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией.

Связь всех разделов темы! 💡

Все три случая связаны единой логикой:
• Параллельные прямые дают пропорцию на секущих (Фалес).
• Биссектриса дает пропорцию на противоположной стороне.
• Высота прямого угла делит гипотенузу на отрезки, образующие среднее пропорциональное для катетов и самой высоты.

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на пропорциональные отрезки 8 класс придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип фигуры: установите, какой случай перед вами (параллельные прямые $\implies$ теорема Фалеса; биссектриса $\implies$ свойство биссектрисы; прямоугольный треугольник $\implies$ среднее пропорциональное).

Запишите пропорцию: выпишите верное равенство отношений с соблюдением соответствия отрезков.

Вычислите неизвестный элемент: выразите неизвестный отрезок по правилу креста или подстановкой переменной $x$ и запишите ответ.

Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс

Рассмотрите решения характерных задач из школьной программы за 8 класс и экзаменационных материалов ОГЭ.

Пример 1: Биссектриса делит стороны на пропорциональные отрезки

Задание: В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$ . Стороны $AB = 10\text{ см}$ , $BC = 15\text{ см}$ , а сторона $AC = 20\text{ см}$ . Найдите отрезки $AD$ и $DC$ .

Подробное решение:

1) По теореме о биссектрисе треугольника:
$$\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$$

2) Пусть $AD = 2x$ , тогда $DC = 3x$ .

3) Так как $AD + DC = AC = 20\text{ см}$ , составим уравнение:
$$2x + 3x = 20 \implies 5x = 20 \implies x = 4\text{ см}$$

4) Найдем длины отрезков:
• $AD = 2 \cdot 4 = 8\text{ см}$ ;
• $DC = 3 \cdot 4 = 12\text{ см}$ .

Ответ: $AD = 8\text{ см}$ , $DC = 12\text{ см}$ .

Пример 2: Пропорциональные отрезки прямоугольного треугольника

Задание: В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки $9\text{ см}$ и $16\text{ см}$ . Найдите эту высоту и меньший катет.

Подробное решение:

1) Высота является средним пропорциональным между проекциями катетов:
$$h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$$

2) Гипотенуза равна сумме отрезков: $c = 9 + 16 = 25\text{ см}$ .

3) Меньший катет находится из пропорции со своей проекцией ( $9\text{ см}$ ):
$$a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{25 \cdot 9} = 5 \cdot 3 = 15\text{ см}$$

Ответ: высота равна $12\text{ см}$ , меньший катет равен $15\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Пропорциональные отрезки» на Экзамео

Отработать тему пропорциональные отрезки 8 класс можно с помощью онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни практических заданий на теорему Фалеса, свойство биссектрисы и пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, составленных строго по требованиям ФГОС и ФОП (по учебникам Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные решения с чертежами к каждому заданию. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, повторяйте геометрические теоремы и получайте только отличные оценки за контрольные работы!

Задача 1

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Темы4

Курсы5

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на метрические соотношения в прямоугольном треугольнике с прямым углом B при вершине, гипотенузой AC и высотой BH к гипотенузе (в соответствии с чертежом). Генератор охватывает все возможные постановки вопросов: нахождение одного из проекционных отрезков AH или CH, высоты BH, гипотенузы AC, а также катетов AB и BC.Вариант 1

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу $AC$ опущена высота $BH = 2$ . Найдите длину всей гипотенузы $AC$ , если $CH = 1$ .

Треугольник ABC с высотой чертёж к задаче

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Теоретический справочник: пропорциональные отрезки

Определение и понятие пропорциональности

Теорема Фалеса

Биссектриса треугольника и пропорциональные отрезки

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Пошаговый алгоритм решения задач

Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс

Тренажёры по теме «Пропорциональные отрезки» на Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой