Второй признак подобия треугольников - доказательство

Дано

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ (как показано на рисунке)

$\angle A = \angle A_1$


Доказать

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство

Для того чтобы доказать подобие треугольников, достаточно, используя первый признак подобия, доказать, что $\angle B = \angle B_1$.

Шаг 1. Построение вспомогательного треугольника

Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого:

$\angle 1 = \angle A_1$

$\angle 2 = \angle B_1$

Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку (по двум углам).

Следовательно:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC_2}{A_1C_1}$

Шаг 2. Сравнение с условием

По условию теоремы:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

Из этих двух равенств получаем:

$AC = AC_2$

Шаг 3. Равенство треугольников

Треугольники $ABC$ и $ABC_2$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$AB$ — общая сторона
$AC = AC_2$ (доказано выше)
$\angle A = \angle 1$ (так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle 1 = \angle A_1$)

Из равенства треугольников следует:

$\angle B = \angle 2$

А так как $\angle 2 = \angle B_1$ (по построению), то:

$\angle B = \angle B_1$

Вывод

Таким образом, мы доказали, что $\angle B = \angle B_1$.

Значит, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ имеют два соответственно равных угла: $\angle A = \angle A_1$ (по условию) и $\angle B = \angle B_1$ (доказано).

Следовательно, по первому признаку подобия:

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Теорема доказана.