Первый признак подобия треугольников

Дано

Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — два треугольника, у которых $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$ (как показано на рисунке).

Доказать

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство

Шаг 1. Равенство третьих углов

По теореме о сумме углов треугольника сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Значит:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\angle C = \angle C_1$.

Таким образом, все три угла треугольника $ABC$ соответственно равны трём углам треугольника $A_1B_1C_1$.

Шаг 2. Пропорциональность сторон

Теперь докажем, что стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то отношение площадей треугольников можно записать двумя способами:

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

(это следует из формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними).

Из этих равенств следует, что:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}$

Аналогично, используя равенства $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, получаем:

$\dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$

Следовательно:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$

Итак, стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Вывод

Так как углы соответственно равны и стороны пропорциональны, то по определению подобных треугольников:

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Теорема доказана.