Центральные и вписанные углы ОГЭ по математике

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Центральные и вписанные углы» для подготовки к ОГЭ по математике. В экзаменационных вариантах ОГЭ по математике задачи на углы в окружности занимают одно из главных мест: это один из основных видов 16 задания в первой части, но задачи на вписанные и центральные углы могут так же встречаться на клетчатой бумаге в задании №18, а также во второй части.

Теория по вписанным и центральным углам для ОГЭ по математике

Для полноценного понимания темы давайте разберем основные определения, рассмотрим отличия и формулы - все они понадобятся на экзамене в 9 классе.

Определения центрального и вписанного угла

1. Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности $O$ , а стороны образуются двумя радиусами ( $OA$ и $OB$ ).

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

\angle AOB = \cup AB

2. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на самой линии окружности, а стороны образуются двумя хордами ( $CA$ и $CB$ ).

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

\angle ACB = \dfrac{1}{2}\cup AB

Главная формула по вписанным и центральным углам

\angle_{\text{вписанный}} = \dfrac{1}{2} \cup AB = \dfrac{1}{2} \angle_{\text{центральный}}

Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну и ту же дугу!

Признак

Центральный угол

Вписанный угол

Где находится вершина

В центре окружности $O$

На окружности

Чем являются стороны

Два радиуса ( $OA$ и $OB$ )

Две хорды ( $CA$ и $CB$ )

Формула угла

$\angle AOB = \cup AB$

$\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$

Чтобы успешно найти угол, вписанный в окружность, или центральный угол в Задании 16 ОГЭ, важно запомнить следующие ключевые принципы:

• Вершина определяет тип угла: если вершина лежит в центре окружности — угол центральный, если на самой окружности — угол вписанный;
• Связь с дугой: градусная мера центрального угла равна дуге, на которую он опирается, а вписанный угол всегда в $2$ раза меньше своей дуги и соответствующего центрального угла;
• Опора на диаметр: любой вписанный угол, который опирается на диаметр окружности, всегда является прямым ( $90^\circ$ ).

4 главных следствия из свойств вписанных углов для ОГЭ

При решении задач ОГЭ вам регулярно будут встречаться четыре факта, связанные со вписанными и центральными углами. Постарайтесь их запомнить, они позволят быстро решать 16 задание и могут пригодиться во второй части.

1. Углы на одну дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги одной окружности), равны между собой:

\angle C_1 = \angle C_2 = \angle C_3

2. Опора на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является прямым ( $90^\circ$ ):

\angle C = 90^\circ

3. Угол вписанного четырёхугольника

Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = 180^\circ, \quad \angle B + \angle D = 180^\circ

4. Угол между касательной и хордой

Угол, образованный касательной и хордой с вершиной в точке касания, равен половине дуги, заключённой внутри него:

\angle (l, AB) = \dfrac{1}{2}\cup AB

Пошаговый алгоритм для задач на вписанные и центральные углы на ОГЭ

Чтобы безошибочно найти любой угол в заданиях с окружностями на ОГЭ по математике, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Определите положение вершины угла:

• Если вершина в центре $O$ $\implies$ угол центральный.

• Если вершина на окружности $\implies$ угол вписанный.

Найдите дугу, на которую опирается угол: проведите пальцем или карандашом от вершины по сторонам угла до пересечения с окружностью.

Вычислите дугу через известную информацию:

• Вся окружность содержит $360^\circ$ .

• Половина окружности (полуокружность от диаметра) равна $180^\circ$ .

Запишите искомый угол:

• Если надо найти вписанный угол $\implies$ разделите дугу на $2$ $\angle = \cup : 2$ .

• Если надо найти центральный угол $\implies$ значение равно дуге $\angle = \cup$ .

Разбор реальных 16 заданий ОГЭ из банка ФИПИ на вписанные и центральные углы

Рассмотрите подробные решения официальных прототипов задач на вписанные и центральные углы из базы ФИПИ.

Прототип 1: Поиск вписанного угла по градусным мерам дуг

Задание: Точки $A$ , $B$ , $C$ , расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как $2 : 3 : 7$ . Найдите больший угол треугольника $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Пусть одна часть равенства дуг равна $x$ градусов.

Вся окружность равна $360^\circ$ :

$2x + 3x + 7x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ \implies x = 30^\circ$ .

2) Найдем градусные меры трёх дуг:

• Первая дуга: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ .

• Вторая дуга: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ .

• Третья дуга: $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$ .

3) Определим больший угол треугольника $ABC$ :

Углы треугольника $ABC$ являются вписанными. Больший вписанный угол опирается на самую большую дугу ( $210^\circ$ ).

4) Вычислим больший вписанный угол:

$\angle_{\text{наиб}} = \dfrac{210^\circ}{2} = 105^\circ$ .

Ответ: $105$ .

Прототип 2: Поиск угла вписанного четырёхугольника

Задание: Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $108^\circ$ . Найдите угол $ADC$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) По свойству вписанного четырёхугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ :

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

2) Вычислим искомый вписанный угол $\angle ADC$ :

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ .

Ответ: $72$ .

Прототип 3: Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Задание: Отрезок $AB$ — диаметр окружности с центром $O$ . Точка $C$ лежит на окружности. Найдите угол $ABC$ , если угол $BAC$ равен $52^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Так как $AB$ — диаметр, вписанный угол $\angle ACB$ , опирающийся на диаметр, является прямым:

$\angle ACB = 90^\circ$ .

2) Рассмотри прямоугольный треугольник $ABC$ : сумма острых углов в нём равна $90^\circ$ :

$\angle ABC + \angle BAC = 90^\circ$

3) Найдем искомый угол $\angle ABC$ :

$\angle ABC = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$ .

Ответ: $38$ .

Тренажёры по центральным и вписанным углам на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Центральные и вписанные углы» для подготовки к ОГЭ по математике с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. База содержит реальные прототипы заданий с экзамена из открытого банка ФИПИ и вариантов прошлых лет

Задача 1

Описанная окружность с центром на стороне треугольника

Темы4

Курсы5

Задачи на свойства вписанного угла, опирающегося на диаметр, составленные по заданиям из открытого банка ФИПИ ОГЭ по математикеВариант 1

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ , лежит на стороне $AB$ . Радиус окружности равен $10$ , а сторона $BC$ равна $16$ . Найдите сторону $AC$ .

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Углы в окружности с пересекающимися диаметрами

Темы2

Курсы3

Задания на вписанные углы окружности, позволяющие отработать свойства углов в окружности и дуг, на которые они опираютсяВариант 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$ . Угол $AOD$ равен $96^\circ$ . Найдите угол $DBA$ .

Пересекающиеся хорды внутри окружности задача

Ответ дайте в градусах.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план