Центральные и вписанные углы ОГЭ по математике

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Центральные и вписанные углы» для подготовки к ОГЭ по математике. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический курс с подробной теорией, формулами, наглядными свойствами и пошаговыми алгоритмами, чтобы вы могли легко научиться находить вписанные и центральные углы в любых прототипах геометрии ОГЭ.

В экзаменационных КИМ ОГЭ по математике задачи на углы в окружности занимают одно из главных мест: это базовое Задание №16 в первой части, задачи на клетчатой бумаге №18, а также сложнейшие задачи на вычисление и доказательство во второй части (№23 и №24).

Что нужно знать о вписанных и центральных углах на ОГЭ по математике?

Чтобы успешно найти угол, вписанный в окружность, или центральный угол в Задании 16 ОГЭ, важно запомнить следующие ключевые принципы:

• Вершина определяет тип угла: если вершина лежит в центре окружности — угол центральный, если на самой окружности — угол вписанный;
• Связь с дугой: градусная мера центрального угла равна дуге, на которую он опирается, а вписанный угол всегда в $2$ раза меньше своей дуги и соответствующего центрального угла;
• Опора на диаметр: любой вписанный угол, который опирается на диаметр окружности, всегда является прямым ( $90^\circ$ ).

Главная формула Задания 16 ОГЭ:

\angle_{\text{вписанный}} = \dfrac{1}{2} \cup AB = \dfrac{1}{2} \angle_{\text{центральный}}

Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну и ту же дугу!

Центральный и вписанный угол: определения и разбор различий

Рассмотрим подробно, чем различаются два основных вида углов в окружности:

1. Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности $O$ , а стороны образуются двумя радиусами ( $OA$ и $OB$ ).

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

\angle AOB = \cup AB

2. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на самой линии окружности, а стороны образуются двумя хордами ( $CA$ и $CB$ ).

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

\angle ACB = \dfrac{1}{2}\cup AB

Признак

Центральный угол

Вписанный угол

Где находится вершина

В центре окружности $O$

На окружности

Чем являются стороны

Два радиуса ( $OA$ и $OB$ )

Две хорды ( $CA$ и $CB$ )

Формула угла

$\angle AOB = \cup AB$

$\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$

[ Место для иллюстрации 1: Чертеж окружности с центральным углом $\angle AOB = \cup AB$ и вписанным углом $\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$ , опирающимися на одну дугу $AB$ ]

4 главных следствия из свойств вписанных углов для ОГЭ

При решении задач ОГЭ вам регулярно понадобятся следующие теоремы:

1. Углы на одну дугу 💡

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги одной окружности), равны между собой:
$$\angle C_1 = \angle C_2 = \angle C_3$$

2. Опора на диаметр 📐

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является прямым ( $90^\circ$ ):
$$\angle C = 90^\circ$$

[ Место для иллюстрации 2: Чертеж нескольких равных вписанных углов, опирающихся на дугу $AB$ , и прямого угла, опирающегося на диаметр $MN$ ]

3. Угол вписанного четырёхугольника 🔲

Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ :
$$\angle A + \angle C = 180^\circ, \quad \angle B + \angle D = 180^\circ$$

4. Угол между касательной и хордой 🔀

Угол, образованный касательной и хордой с вершиной в точке касания, равен половине дуги, заключённой внутри него:
$$\angle (l, AB) = \dfrac{1}{2}\cup AB$$

Пошаговый алгоритм: Как найти вписанный или центральный угол на ОГЭ

Чтобы безошибочно найти любой угол в Задании 16 ОГЭ по математике, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Определите положение вершины угла:

• Если вершина в центре $O$ $\implies$ угол центральный.

• Если вершина на окружности $\implies$ угол вписанный.

Найдите дугу, на которую опирается угол: проведите пальцем или карандашом от вершины по сторонам угла до пересечения с окружностью.

Вычислите дугу через известную информацию:

• Вся окружность содержит $360^\circ$ .

• Половина окружности (полуокружность от диаметра) равна $180^\circ$ .

Запишите искомый угол:

• Если надо найти вписанный угол $\implies$ разделите дугу на $2$ ( $\angle = \cup : 2$ ).

• Если надо найти центральный угол $\implies$ значение равно дуге ( $\angle = \cup$ ).

Разбор реальных задач Задания 16 ОГЭ из банка ФИПИ

Рассмотрите подробные решения официальных прототипов задач на вписанные и центральные углы из базы ФИПИ.

Прототип 1: Поиск вписанного угла по градусным мерам дуг

Задание (ФИПИ): Точки $A$ , $B$ , $C$ , расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как $2 : 3 : 7$ . Найдите больший угол треугольника $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Пусть одна часть равенства дуг равна $x$ градусов.

Вся окружность равна $360^\circ$ :

$2x + 3x + 7x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ \implies x = 30^\circ$ .

2) Найдем градусные меры трёх дуг:

• Первая дуга: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ .

• Вторая дуга: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ .

• Третья дуга: $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$ .

3) Определим больший угол треугольника $ABC$ :

Углы треугольника $ABC$ являются вписанными. Больший вписанный угол опирается на самую большую дугу ( $210^\circ$ ).

4) Вычислим больший вписанный угол:

$\angle_{\text{наиб}} = \dfrac{210^\circ}{2} = 105^\circ$ .

Ответ: $105$ .

Прототип 2: Поиск угла вписанного четырёхугольника

Задание (ФИПИ): Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $108^\circ$ . Найдите угол $ADC$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) По свойству вписанного четырёхугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ :

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

2) Вычислим искомый вписанный угол $\angle ADC$ :

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ .

Ответ: $72$ .

Прототип 3: Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Задание (ФИПИ): Отрезок $AB$ — диаметр окружности с центром $O$ . Точка $C$ лежит на окружности. Найдите угол $ABC$ , если угол $BAC$ равен $52^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Так как $AB$ — диаметр, вписанный угол $\angle ACB$ , опирающийся на диаметр, является прямым:

$\angle ACB = 90^\circ$ .

2) Рассмотри прямоугольный треугольник $ABC$ : сумма острых углов в нём равна $90^\circ$ :

$\angle ABC + \angle BAC = 90^\circ$

3) Найдем искомый угол $\angle ABC$ :

$\angle ABC = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$ .

Ответ: $38$ .

Тренажёры по центральным и вписанным углам на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Центральные и вписанные углы» для подготовки к ОГЭ по математике с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. База содержит сотни реальных прототипов Заданий №16 и №18 из открытого банка ФИПИ!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Вписанные и центральные углы ОГЭ» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас темпе, отрабатывайте решение геометрии и уверенно забирайте баллы на ОГЭ по математике 2026!