16 задание ЕГЭ по математике база: вычисления и преобразования всех видов

На этой странице представлен разбор 16 задания ЕГЭ по математике базового уровня - всех виды числовых и алгебраических выражений из открытого банка ФИПИ, собраны все свойства степеней, корней, логарифмов и тригонометрических выражений. После теории вы найдете тренажёры с подробными решениями и автопроверкой ответов.

В структуре базового экзамена ЕГЭ математика база 16 задание проверяет умение выпускников выполнять тождественные преобразования и находить точные числовые значения выражений, принося 1 первичный балл. В отличие от уравнений, здесь нет знака равенства с неизвестной переменной: дано конкретное составное выражение, которое требуется упростить до одного числа. Главное преимущество задания — все иррациональности, корни, логарифмы и тригонометрические функции обязаны взаимно уничтожиться или сократиться, дав в итоге простое целое число или конечную десятичную дробь.

Формат и специфика: 16 задание ЕГЭ математика база

• Четыре ключевых блока выражений: действия со степенями (включая отрицательные и дробные показатели), преобразование квадратных корней и внесение под общий радикал, свойства логарифмов (вынесение степеней и основное логарифмическое тождество), а также тригонометрические формулы (основное тригонометрическое тождество, углы больше 360° и связь тангенса с котангенсом).

• Контроль знака тригонометрических функций: при нахождении косинуса через синус обязательно учитывайте четверть единичной окружности (например, во второй четверти от 90° до 180° косинус принимает строго отрицательные значения).

• Форма ответа: целое число или конечная десятичная дробь (никаких знаков корней, логарифмов или $\pi$ в бланке быть не может).

Все виды выражений 16 задания базового ЕГЭ

Все прототипы задания 16 из открытого банка ФИПИ разделяются на четыре основных математических раздела:

Вид 1

Степени и показатели

Дроби с одинаковыми или кратными основаниями, умножение степеней при возведении и деление с вычитанием отрицательных показателей.

Вид 2

Квадратные корни

Раскрытие скобок с корнями, перемножение иррациональностей и деление с внесением под общий радикал для получения точного квадрата.

Вид 3

Логарифмические выражения

Использование основного тождества $a^{\log_a b} = b$ , разложение степени с разностью в показателе и сокращение одинаковых логарифмов.

Вид 4

Тригонометрия

Произведение тангенса и котангенса одного аргумента, вычисление значений углов за пределами первого оборота и поиск косинуса через основное тождество.

Теоретическая база и справочные формулы

Перед переходом к разбору прототипов повторите ключевые формулы, скрытые в тематические блоки:

1. Свойства степеней и показателей

• Произведение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$ .

• Деление степеней с одинаковым основанием: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ .

• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ .

• Отрицательная степень: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ , соответственно $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$ .

• Разложение разности в показателе: $a^{m - n} = \dfrac{a^m}{a^n}$ .

2. Свойства квадратных корней

• Корень из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$ ).

• Корень из частного: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (при $a \ge 0, b > 0$ ).

• Квадрат корня: $(\sqrt{a})^2 = a$ (при $a \ge 0$ ).

• Вынесение множителя из-под знака корня: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ .

3. Свойства логарифмов

• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$ .

• Вынесение степени аргумента: $\log_a (b^k) = k \cdot \log_a b$ .

• Логарифм основания: $\log_a a = 1$ .

• Степень с вычитанием в показателе: $a^{\log_a b - c} = \dfrac{a^{\log_a b}}{a^c} = \dfrac{b}{a^c}$ .

4. Тригонометрические формулы

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ .

• Произведение тангенса и котангенса одного угла: $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$ .

• Периодичность функций: период синуса и косинуса равен $360^\circ$ : $\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos \alpha$ .

• Табличные значения: $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ , $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ , $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Практический разбор прототипов 16 задания

Ниже приведены подробные решения типовых заданий, охватывающих все возможные конструкции экзаменационного номера:

Пример 1: Выражение со степенями тройки

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{9^4}{3^5} : 3^2$ .

Пошаговый разбор:

1) Приведём основание $9$ к степени с основанием $3$ :

9 = 3^2 \implies 9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8

2) Выполним деление в дроби $\dfrac{3^8}{3^5}$ , вычитая показатели степеней:

\dfrac{3^8}{3^5} = 3^{8 - 5} = 3^3

3) Разделим полученный результат на $3^2$ :

3^3 : 3^2 = 3^{3 - 2} = 3^1 = 3

Ответ: 3.

Пример 2: Дробь с отрицательными степенями

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{(3^{-2})^3}{3^{-9}}$ .

Пошаговый разбор:

1) Раскроем скобки в числителе по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ :

(3^{-2})^3 = 3^{(-2) \cdot 3} = 3^{-6}

2) Применим деление степеней $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ , помня, что вычитание отрицательного числа даёт плюс:

\dfrac{3^{-6}}{3^{-9}} = 3^{-6 - (-9)} = 3^{-6 + 9} = 3^3

3) Вычислим куб тройки:

3^3 = 27

Ответ: 27.

Пример 3: Умножение разности корней на корень

Задание: Найдите значение выражения $(\sqrt{75} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$ .

Пошаговый разбор:

1) Разложим подкоренное число $75$ на множители $25 \cdot 3$ и вынесем пятёрку из-под корня:

\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}

2) Выполним вычитание подобных слагаемых в скобках:

5\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

3) Умножим полученное значение на $\sqrt{3}$ :

4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12

(Альтернативный способ через распределительный закон: $\sqrt{75} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{225} - 3 = 15 - 3 = 12$ ).

Ответ: 12.

Пример 4: Деление корней с общим радикалом

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{300}}{\sqrt{12}}$ .

Пошаговый разбор:

1) Объединим числитель и знаменатель под один общий знак радикала:

\dfrac{\sqrt{300}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\dfrac{300}{12}}

2) Сократим подкоренную дробь:

\dfrac{300}{12} = 25

3) Извлечём квадратный корень из точного квадрата:

\sqrt{25} = 5

Ответ: 5.

Пример 5: Степень с разностью и логарифмом в показателе

Задание: Найдите значение выражения $3^{\log_3 18 - 2}$ .

Пошаговый разбор:

1) Разобьём разность в показателе на отношение двух степеней:

3^{\log_3 18 - 2} = \dfrac{3^{\log_3 18}}{3^2}

2) Применим к числителю основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ :

3^{\log_3 18} = 18

3) Возведём тройку в квадрат в знаменателе: $3^2 = 9$ .

4) Найдём частное:

\dfrac{18}{9} = 2

Ответ: 2.

Пример 6: Логарифмическая дробь с вынесением показателя степени

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{\log_7 (13^8)}{4\log_7 13}$ .

Пошаговый разбор:

1) Вынесем показатель степени $8$ из аргумента логарифма в числителе как множитель:

\log_7 (13^8) = 8 \cdot \log_7 13

2) Запишем всю дробь целиком:

\dfrac{8 \cdot \log_7 13}{4 \cdot \log_7 13}

3) Сократим одинаковый логарифмический множитель $\log_7 13 \neq 0$ :

\dfrac{8}{4} = 2

Ответ: 2.

Пример 7: Произведение тангенса и котангенса одного угла

Задание: Найдите значение выражения $5 \cdot \text{tg}\,37^\circ \cdot \text{ctg}\,37^\circ$ .

Пошаговый разбор:

1) Воспользуемся базовым тождеством связи тангенса и котангенса для одинакового угла:

\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1

2) Так как углы одинаковы и равны $37^\circ$ , произведение функций даёт единицу:

\text{tg}\,37^\circ \cdot \text{ctg}\,37^\circ = 1

3) Умножим полученную единицу на числовой коэффициент:

5 \cdot 1 = 5

Ответ: 5.

Пример 8: Вычисление угла больше 360 градусов

Задание: Найдите значение выражения $8\sqrt{3}\cos 390^\circ$ .

Пошаговый разбор:

1) Выделим период $360^\circ$ из аргумента косинуса:

390^\circ = 360^\circ + 30^\circ

2) Отбросим полный период $360^\circ$ по свойству периодичности:

\cos 390^\circ = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ

3) Подставим табличное значение $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

8\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{8 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = 4 \cdot 3 = 12

Ответ: 12.

Пример 9: Нахождение косинуса по синусу во второй четверти

Задание: Найдите $\cos \alpha$ , если $\sin \alpha = 0{,}6$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ .

Пошаговый разбор:

1) По основному тригонометрическому тождеству выразим квадрат косинуса:

\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

2) Подставим значение синуса:

\cos^2 \alpha = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64

3) Определим знак косинуса по заданной четверти:

Угол $\alpha$ лежит в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ , что соответствует II координатной четверти.

Во второй четверти косинус принимает строго отрицательные значения ( $\cos \alpha < 0$ ).

4) Извлечём корень с учётом отрицательного знака:

\cos \alpha = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8

Ответ: -0,8.

Пошаговый алгоритм решения 16 задания

Чтобы не запутаться в многоэтажных формулах, придерживайтесь чёткой последовательности шагов:

Порядок действий

Определите математическую природу выражения: выясните, с чем вы работаете — со степенями, корнями, логарифмами или тригонометрией.

Приведите элементы к общему основанию или аргументу: составные числа разложите на простые множители ( $9 \to 3^2$ , $4 \to 2^2$ ), корни объедините под один радикал, а углы тригонометрии приведите к первой четверти отбрасыванием полных периодов $360^\circ$ .

Примените базовое тождество: используйте формулы сложения/вычитания степеней, вынесение показателя логарифма или тождество $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$ .

Переведите обыкновенную дробь в десятичную: убедитесь, что ответ представлен в виде целого числа или конечной десятичной дроби (например, $\frac{2}{5} \to 0{,}4$ ).

Ошибкоопасные места в 16 задании

При выполнении 16 номера выпускники чаще всего спотыкаются на трёх ошибкоопасных ситуациях:

Игнорирование знака четверти

При извлечении корня из $\cos^2 \alpha$ забывают проверить интервал угла. Во второй четверти ( $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ) косинус отрицателен, поэтому перед числом обязательно ставится знак минус.

Ошибки с двойным минусом в степенях

При вычислении $3^{-6} : 3^{-9}$ ошибочно складывают модули и получают показатель $-15$ вместо верного $-6 - (-9) = -6 + 9 = 3$ . Деление на отрицательную степень всегда меняет знак на плюс!

Неправильное раскрытие степени с логарифмом

В выражении $3^{\log_3 18 - 2}$ вычитают двойку напрямую из 18, получая 16. Разность в показателе степени раскладывается исключительно через деление степеней: $3^{\log_3 18} : 3^2 = 18 : 9 = 2$ .

Тренажёры по 16 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

В тренажерах собраны абсолютно все прототипы уравнений, которые могут встретиться на реальном экзамене по базовой математике в 2027 году. В каждом тренажере вы найдете большое количество вариантов, подробные решения с объяснениями и проверку ответов.

Задача 1

Корень из нечетной степени

Темы4

Задания, в которых сначала нужно представить число в виде квадратаВариант 1

Найдите значение выражения:

\sqrt{16^{5}}

Ваш ответ

Задача 2

Произведение сопряженных квадратных корней

Темы3

Вариант 1

Найдите значение выражения:

(\sqrt{109} - \sqrt{70})(\sqrt{109} + \sqrt{70})

Ваш ответ

Все виды выражений 16 задания базового ЕГЭ

Теоретическая база и справочные формулы

Практический разбор прототипов 16 задания

Пошаговый алгоритм решения 16 задания

Ошибкоопасные места в 16 задании

Тренажёры по 16 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании