Степень числа - разбор темы 7 класса и задания с тренажерами

На этой странице представлен вводный теоретический справочник по теме «Степень числа с натуральным показателем» по алгебре для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео подготовили этот материал, чтобы помочь семиклассникам впервые познакомиться с понятием степени, научиться правильно называть её элементы, освоить правила работы со знаками при возведении отрицательных чисел в степень и легко решать базовые примеры из контрольных и самостоятельных работ.

Понятие степени — это одно из самых главных понятий школьного курса алгебры. Введение степени позволяет компактно записывать произведение большого количества одинаковых множителей и служит основой для изучения одночленов, многочленов, формул сокращённого умножения и функций.

Что такое степень числа? Тема 7 класса

Ниже подробно разобраны базовое определение степени, её составные части и правила возведения различных чисел в степень, которые проходятся в 7 классе.

Определение степени и её элементы

Определение степени с натуральным показателем 🎯

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ ( $n > 1$ ) называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ :

a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\dots\cdot a}_{n\text{ раз}}

• Число $a$ называется основанием степени (показывает, какое число умножается само на себя).
• Число $n$ называется показателем степени (показывает, сколько таких множителей берется).

Особый случай — первая степень ( $n = 1$ ):

Считается, что степень любого числа с показателем $1$ равна самому этому числу:

a^1=a

Вторая и третья степени: квадрат и куб числа

Для второй и третьей степеней числа в математике используются традиционные специальные названия:

• Вторая степень ( $a^2$ ) — «квадрат числа»: $a^2 = a \cdot a$ . Название связано с геометрией: площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$ .

• Третья степень ( $a^3$ ) — «куб числа»: $a^3 = a \cdot a \cdot a$ . Название также пришло из геометрии: объём куба с ребром $a$ равен $a^3$ .

Знаки при возведении чисел в степень

При возведении чисел в степень особое внимание следует уделять знаку основания и чётности показателя:

Положительное основание ( $a > 0$ ) ➕

При возведении положительного числа в любую натуральную степень получается положительное число:

5^2 = 25 > 0

2^5=32>0

Отрицательное основание ( $a < 0$ ) ➖

- В чётной степени ( $2, 4, 6 \dots$ ) отрицательное число даёт положительный результат:

(-3)^2=9>0

- В нечётной степени ( $1, 3, 5 \dots$ ) отрицательное число даёт отрицательный результат:

(-3)^3=-27<0

Самая частая ошибка 7 класса со скобками! ⚠️

Обращайте внимание на наличие скобок!
- $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$ — за скобку возводится всё отрицательное число $(-4)$ .
- $-4^2 = -(4 \cdot 4) = -16$ — минус стоит перед степенью! В квадрат возводится только четвёрка, а знак минус сохраняется!

Порядок действий в выражениях со степенями

Операция возведения в степень относится к действиям третьей ступени. В числовых выражениях она выполняется в первую очередь, до умножения, деления, сложения и вычитания (если нет скобок).

Пример: чтобы вычислить $2 \cdot 3^4$ , сначала возводим $3$ в четвёртую степень ( $3^4 = 81$ ), а затем умножаем на $2$ :

2\cdot3^4=2\cdot81=162

Что изучать дальше? 🚀

Освоив базовое понятие степени, переходите к изучению фундаментальных правил преобразования степенных выражений:
Свойства степени с целым показателем (умножение, деление, возведение степени в степень и свойства отрицательных показателей).

Пошаговый алгоритм возведения числа в степень

Чтобы безошибочно вычислять значения степеней в 7 классе, придерживайтесь следующего универсального алгоритма, он поможет при выполнении самостоятельных и контрольных работа:

Порядок действий:

Определите знак результата: посмотрите на знак основания. Если основание отрицательное, результат будет положительным при чётном показателе и отрицательным — при нечётном.

Преобразуйте основание (при необходимости): смешанную дробь переведите в неправильную (например, $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ), а десятичную дробь переведите в обыкновенную или возводите столбиком.

Перемножьте модули: перемножьте модуль основания сам на себя столько раз, чему равен показатель степени.

Разбор типовых задач из контрольных работ на степень числа в 7 классе

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе.

Пример 1: Вычисление степени отрицательных чисел и дробей

Задание: Вычислите: а) $(-2)^4$ ; б) $(-3)^3$ ; в) $\left(-1\dfrac{1}{3}\right)^3$ .

Подробное решение:

1) а) $(-2)^4$ : основание отрицательное, показатель чётный ( $4$ ). Результат положительный:
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$ .

2) б) $(-3)^3$ : основание отрицательное, показатель нечётный ( $3$ ). Результат отрицательный:
$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$ .

3) в) $\left(-1\dfrac{1}{3}\right)^3$ : переведем смешанную дробь в неправильную: $-1\dfrac{1}{3} = -\dfrac{4}{3}$ .
Возводим числитель и знаменатель в третью степень (показатель нечётный):
$\left(-\dfrac{4}{3}\right)^3 = -\dfrac{4^3}{3^3} = -\dfrac{64}{27} = -2\dfrac{10}{27}$

Ответ: а) $16$ ; б) $-27$ ; в) $-2\dfrac{10}{27}$ .

Пример 2: Вычисление значения числового выражения со степенями

Задание: Найдите значение выражения: $3 \cdot (-2)^3 - 4 \cdot (-1)^6 + 5^2$ .

Подробное решение:

1) Вычисляем значения всех степеней:
• $(-2)^3 = -8$ (нечётная степень отрицательного числа)
• $(-1)^6 = 1$ (чётная степень отрицательного числа)
• $5^2 = 25$

2) Подставляем значения степеней в выражение:
$3 \cdot (-8) - 4 \cdot 1 + 25$

3) Выполняем действия в соответствии с порядком операций:
$3 \cdot (-8) = -24$
$-4 \cdot 1 = -4$
$-24 - 4 + 25 = -28 + 25 = -3$

Ответ: $-3$ .

Тренажёры по теме «Степень числа» на Экзамео для 7 класса

Закрепите понятие степени и доведите до автоматизма вычисления с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки со степенями и проверочные тесты по теме «Степень числа с натуральным показателем» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по алгебре.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы