Степень с целым отрицательным показателем

Степень с целым отрицательным показателем - это важное понятие в алгебре 8 класса, которое расширяет известное вам определение степени. Вы уже умеете возводить числа в натуральную степень. А что делать, если показатель степени отрицательный? Оказывается, это просто и логично. Степени с отрицательным показателем широко используются в науке, технике и при записи очень малых чисел (например, размеров атомов). На этой странице вы найдёте всё, что нужно знать о степени с целым отрицательным показателем: определение, примеры, типичные ошибки и практические задания.

Степень с целым отрицательным показателем - это запись вида $a^{-n}$ , где $a \neq 0$ , а $n$ — натуральное число.

По определению: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ , при $a \neq 0$ .

Как появляется степень с отрицательным показателем

Рассмотрим последовательность степеней числа 10:

$10^3, 10^2, 10^1, 10^0, \dots$

Каждый следующий показатель на 1 меньше предыдущего, а значение степени уменьшается в 10 раз:

$1000 \to 100 \to 10 \to 1 \to \dfrac{1}{10} \to \dfrac{1}{100} \to \dfrac{1}{1000} \to \dots$

Если продолжить эту закономерность, получаем:

$\dfrac{1}{10} = 10^{-1}$ , $\dfrac{1}{100} = 10^{-2}$ , $\dfrac{1}{1000} = 10^{-3}$ , $\dots$

Это соглашение можно распространить на любое число $a \neq 0$ .

Важно запомнить: Степень с отрицательным показателем всегда положительна, если основание положительное. Например, $10^{-24}$ - это положительное число, равное $\dfrac{1}{10^{24}}$ .

Примеры

Примеры вычисления степеней с отрицательным показателем

Пример 1: $2^{-3}$

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

Пример 2: $10^{-4}$

$10^{-4} = \dfrac{1}{10^4} = 0,0001$

Пример 3: $(-3)^{-2}$

$(-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9}$

Пример 4: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \dfrac{27}{8}$

Пример 5: $(-2)^{-3}$

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$

Как превратить дробь в степень с отрицательным показателем

Любую дробь вида $\dfrac{1}{a^n}$ можно записать как степень с отрицательным показателем.

Правило обращения дроби в степень

$\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$ , где $a \neq 0$

Примеры:

$\dfrac{1}{5^2} = 5^{-2}$

$\dfrac{1}{10^6} = 10^{-6}$

$\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$

Свойства степени с отрицательным показателем

Все Свойства степени с целым показателем сохраняются и для степени с целым отрицательным показателем.

Типичные ошибки при работе с отрицательным показателем

При работе со степенями с отрицательным показателем ученики часто допускают характерные ошибки. Разберём их, чтобы избежать на контрольных работах и на ОГЭ.

Ошибка 1: Путают знак основания и знак показателя

Неправильно

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{-8} = \dfrac{1}{8}$

(потеряли знак минус)

Правильно

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$

Ошибка 2: «Минус» в показателе переносят на основание

Неправильно

$2^{-3} = -2^3 = -8$

(минус в показателе не делает основание отрицательным)

Правильно

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

(минус в показателе означает «перевернуть дробь»)

Ошибка 3: Неправильное возведение в степень дроби

Неправильно

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$

(не перевернули дробь)

Правильно

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$

(дробь переворачивается)

Ошибка 4: Забывают про скобки при отрицательном основании

Неправильно

$-3^{-2} = 9$

(неправильно прочитали запись)

Правильно

$-3^{-2} = -\dfrac{1}{3^2} = -\dfrac{1}{9}$

(отрицательное основание должно быть в скобках)

Совет: Запомните главное правило: $a^{-n}$ - это не отрицательное число (если $a > 0$ ). Это просто способ записать дробь $\dfrac{1}{a^n}$ .

Применение в науке и технике

Степени с отрицательным показателем активно используются для записи очень малых величин в теме Стандартный вид числа.

Реальные примеры

Масса атома водорода: примерно $1,67 \cdot 10^{-24}$ г
Диаметр молекулы оливкового масла: примерно $10^{-8}$ м
Размер вируса: примерно $10^{-7}$ м
Приставки СИ: милли — $10^{-3}$ , микро — $10^{-6}$ , нано — $10^{-9}$ , пико — $10^{-12}$

Тренажёры по степени с целым отрицательным показателем

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Степень с целым отрицательным показателем». Мы подготовили задания разного уровня сложности — от вычислений до упрощения выражений.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.

Особое внимание уделено отработке навыков работы со свойствами степеней и преобразованию выражений — эти навыки необходимы для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике. Начните тренироваться прямо сейчас!