16 задание ОГЭ по математике - полный разбор и все виды заданий ФИПИ

Задание 16 ОГЭ по математике входит в обязательный геометрический блок первой части экзаменационного КИМа (модуль «Геометрия») и приносит 1 первичный балл. Наряду с 15 заданием, 16 линия обеспечивает набор минимально необходимых 2 баллов по геометрии для успешной сдачи экзамена. Оно посвящено свойствам окружности, круга и их элементов: центральным и вписанным углам, хордам, касательным, секущим, а также комбинациям окружностей с треугольниками и четырёхугольниками.

На этой странице собрана вся теоретическая база кодификатора ФИПИ: связь дуг и углов, теоремы о взаимном расположении прямых и окружностей, правила вписанных и описанных многоугольников, а также разбор всех ключевых прототипов открытого банка заданий с пошаговыми чертежами.

Отработать все типы шестнадцатого номера помогут интерактивные тренажёры Задания 16 ОГЭ по математике с мгновенной проверкой и подсказками.

Углы в окружности и дуги

Вся окружность составляет $360^\circ$ . Взаимосвязь между дугами и углами описывается двумя ключевыми понятиями:

Центральный угол ( $\angle AOB$ ) 🎯

Вершина угла лежит в центре окружности $O$ .

• Равен градусной мере дуги, на которую опирается:

\angle AOB = \cup AB

Вписанный угол ( $\angle ACB$ ) 📐

Вершина угла лежит на самой окружности, а стороны пересекают её.

Равен половине дуги, на которую опирается:

\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cup AB = \dfrac{1}{2} \angle AOB

На рисунке угол AOB - центральный, а угол ACB - вписанный

Важнейшие следствия о вписанных углах 💡

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или хорду), равны.

• Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность $180^\circ$ ), всегда прямой ( $90^\circ$ ).

Эти следствия активно используются в решении 16 задач

Касательные, секущие и хорды

Элемент / Теорема

Формула / Соотношение

Геометрический смысл

Радиус и касательная

$R \perp \text{касательной}$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной прямой ( $\angle = 90^\circ$ ).

Отрезки касательных из одной точки

$AB = AC$

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной общей точки, равны.

Пересекающиеся хорды

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Произведения отрезков пересекающихся внутри окружности хорд равны.

Касательная и секущая

$AK^2 = AB \cdot AC$

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

3. Вписанные и описанные четырёхугольники

Описанный четырёхугольник (окружность внутри) ⭕

Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:

a + c = b + d

• Площадь: $S = p \cdot r$ (где $p = \frac{P}{2}$ ).

Вписанный четырёхугольник (окружность снаружи) 🔵

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

• Около трапеции можно описать окружность только если она равнобедренная.

Лайфхаки для Задания 16 ОГЭ! 💡

1. Радиусы образуют равнобедренные треугольники: Если соединить центр $O$ с точками на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ всегда равны как радиусы ( $OA = OB = R$ ). Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный, а значит углы при его основании равны!

2. Центр и касательная: Всегда проводите радиус в точку касания — образуется угол $90^\circ$ и прямоугольный треугольник, к которому можно применить теорему Пифагора.

3. Угол между касательной и хордой: Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине заключенной между ними дуги (то есть равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту хорду).

Пошаговый алгоритм решения Задания 16

При решении 16 задачи на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип углов и элементов: найдите, где находятся вершины углов (в центре или на окружности), отметьте известные дуги и радиусы.

Примените геометрическое свойство: свяжите углы через дуги, используйте свойство сумм противоположных сторон/углов четырёхугольника или прямоугольный треугольник с радиусом.

Запишите итоговое число в бланк № 1: проверьте, требовалось найти градусную меру угла или длину отрезка, и запишите ответ.

Разбор прототипов Задания 16 из банка ФИПИ

Рассмотрите решения характерных задач 16 линии ОГЭ.

Пример 1: Центральный и вписанный углы

Задание: Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A, B$ и $C$ . Известно, что угол $\angle ABC = 56^\circ$ . Найдите величину угла $\angle AOC$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Угол $\angle ABC$ является вписанным, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $\cup AC$ .

2) Градусная мера дуги $\cup AC$ в два раза больше вписанного угла:

\cup AC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ

3) Угол $\angle AOC$ является центральным, опирающимся на ту же самую дугу $\cup AC$ .

4) Центральный угол равен градусной мере своей дуги:

\angle AOC = \cup AC = 112^\circ

Ответ: $112$ .

Пример 2: Касательная к окружности и радиус

Задание: К окружности с центром в точке $O$ проведена касательная $AB$ с точкой касания $B$ . Прямая $OA$ пересекает окружность в точке $C$ . Найдите радиус окружности, если $AB = 24$ , а $AC = 18$ .

Подробное решение:

1) Радиус $OB = R$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $AB$ ( $\angle ABO = 90^\circ$ ). Треугольник $\triangle ABO$ — прямоугольный.

2) Отрезок $OA$ состоит из суммы $AC + OC$ , где $OC = R$ (радиус окружности): $OA = 18 + R$ .

3) Применим теорему Пифагора для $\triangle ABO$ :

OB^2 + AB^2 = OA^2 \implies R^2 + 24^2 = (18 + R)^2

4) Раскроем квадрат суммы:

R^2 + 576 = 324 + 36R + R^2

5) Выразим $R$ :

576 - 324 = 36R \implies 252 = 36R \implies R = \dfrac{252}{36} = 7

Ответ: $7$ .

Пример 3: Описанный четырёхугольник

Задание: Около окружности описан четырёхугольник $ABCD$ , периметр которого равен $38$ , а сторона $CD = 11$ . Найдите сторону $AB$ .

Подробное решение:

1) По свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны и составляют ровно половину периметра ( $P = 38$ ):

AB + CD = BC + AD = \dfrac{P}{2} = \dfrac{38}{2} = 19

2) Зная, что $CD = 11$ , найдем сторону $AB$ :

AB + 11 = 19 \implies AB = 19 - 11 = 8

Ответ: $8$ .

Тренажёры по 16 заданию ОГЭ по математике

Закрепить геометрические свойства окружностей и гарантированно решить Задание 16 ОГЭ по математике помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В нашем банке собраны сотни актуальных заданий открытого банка ФИПИ на углы в окружности, касательные, секущие, хорды и многоугольники.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому номеру с красочными чертежами. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, уверенно осваивайте геометрию и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Задача 1

Нахождение длины дуги окружности и центрального острого угла

Темы2

Единственный тренажер на дугу сектора окружности из открытого банка ФИПИ ОГЭ по математикеВариант 1

На окружности с центром в точке $O$ отмечены точки $A$ и $B$ . Угол $AOB$ равен $50^\circ$ , а длина меньшей дуги $AB$ равна $8$ . Найдите длину большей дуги.

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Площадь сектора и круга с острым центральным углом

Темы2

Ещё один вид задач на сектор окружности из ОГЭ по математике на нахождение площади всей окружностиВариант 1

Площадь круга равна $43,2$ . Найдите площадь сектора этого круга, если его центральный угол равен $50^\circ$ .

Площадь окружности через площадь сектора

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Углы в окружности и дуги

Касательные, секущие и хорды

3. Вписанные и описанные четырёхугольники

Пошаговый алгоритм решения Задания 16

Разбор прототипов Задания 16 из банка ФИПИ

Тренажёры по 16 заданию ОГЭ по математике

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании