Объём прямой призмы - теория, формулы и задачи для 11 класса

На этой странице собраны теория, свойства и типовые задачи на объём прямой призмы из школьного курса геометрии за 11 класс, самостоятельных работ и экзаменационных банков заданий. Вы узнаете, чему равен объём прямой призмы, как вычислять его через площадь основания и высоту, разберёте свойства треугольных, четырёхугольных и правильных призм, а также комбинации с цилиндром и сможете закрепить навык в онлайн-тренажёре с пошаговой проверкой ответов.

Приступая к задачам на нахождение объёма прямой призмы, важно помнить её ключевое геометрическое свойство: боковые рёбра прямой призмы строго перпендикулярны плоскостям её оснований. Это означает, что длина любого бокового ребра в точности равна высоте призмы ( $h = l$ ). Поэтому вычисление объёма всегда сводится к понятному универсальному алгоритму: найти площадь многоугольника в основании и умножить её на высоту.

[Место для иллюстрации: Прямая призма с обозначением равных оснований, боковых рёбер, перпендикулярных основанию, и высоты h]

Формула объёма прямой призмы

Объём прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту (длину бокового ребра):

V = S_{\text{осн}} \cdot h

Величины в формуле и единицы измерения:

• $V$ — объём призмы, измеряется в кубических единицах ( $\text{см}^3$ , $\text{м}^3$ ).

• $S_{\text{осн}}$ — площадь многоугольника в основании (треугольника, четырёхугольника, шестиугольника), измеряется в $\text{см}^2$ , $\text{м}^2$ .

• $h$ — высота призмы (расстояние между плоскостями оснований). Так как призма прямая, высота равна длине любого бокового ребра: $h = AA_1 = BB_1 = CC_1$ .

Формулы и методы вычисления объёма прямой призмы

Независимо от количества углов многоугольника в основании, базовая зависимость остаётся неизменной: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ . В практических задачах ключевой шаг — определить форму многоугольника в основании и применить для него подходящую формулу планиметрии.

Базовая формула для произвольного основания

Если площадь основания уже известна из условия задачи, объём призмы находится прямым умножением площади на длину бокового ребра:

[Место для иллюстрации: Произвольная прямая призма с выделенной площадью основания S_осн и высотой h]

Задача: расчёт объёма прямой призмы по площади основания

Условие: Площадь основания прямой пятиугольной призмы равна $28\text{ см}^2$ , а длина её бокового ребра равна $9\text{ см}$ . Найдите объём этой призмы.

Пошаговое решение:

1) Для прямой призмы высота $h$ равна длине её бокового ребра:

h = 9\text{ см}

2) Площадь основания задана в условии: $S_{\text{осн}} = 28\text{ см}^2$ .

3) Применяем базовую формулу объёма:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = 28 \cdot 9 = 252\text{ см}^3

Ответ: 252.

Прямая треугольная призма

В школьных самостоятельных работах и в материалах ЕГЭ наиболее часто встречается прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ . Её основаниями служат два одинаковых треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ . Выбор расчётного выражения зависит от геометрического типа треугольника в основании:

• Прямоугольный треугольник в основании (катеты $a$ и $b$ ):

S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2}ab \implies V = \dfrac{1}{2}ab \cdot h

• Равносторонний треугольник в основании (сторона $a$ ):

S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \implies V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h

• Произвольный треугольник: площадь находят через две стороны и угол между ними ( $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ ) либо по формуле Герона через полупериметр ( $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ).

[Место для иллюстрации: Прямая треугольная призма ABCA1B1C1 с прямоугольным основанием]

Задача: объём призмы ABCA1B1C1 с прямоугольным треугольником в основании

Условие (прототип ЕГЭ): В прямой треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ основанием служит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Катеты равны $AC = 6$ , $BC = 8$ . Боковое ребро призмы $AA_1$ равно $5$ . Найдите объём призмы.

Пошаговое решение:

1) Найдём площадь прямоугольного треугольника $ABC$ в основании как полупроизведение катетов:

S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24

2) Так как призма прямая, её высота равна длине бокового ребра: $h = AA_1 = 5$ .

3) Вычислим объём призмы:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120

Ответ: 120.

Прямая четырёхугольная призма

Основанием прямой четырёхугольной призмы может быть любой четырёхугольник: прямоугольник, ромб, параллелограмм или трапеция.

• Прямоугольный параллелепипед (в основании прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ ):

V = a \cdot b \cdot c

• Ромб в основании (с диагоналями $d_1$ и $d_2$ ):

S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \implies V = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \cdot h

• Трапеция в основании (с основаниями $a$ , $b$ и высотой трапеции $h_{\text{тр}}$ ):

S_{\text{осн}} = \dfrac{a + b}{2} \cdot h_{\text{тр}} \implies V = \dfrac{a + b}{2} \cdot h_{\text{тр}} \cdot h

[Место для иллюстрации: Прямая четырёхугольная призма с ромбом в основании и проведёнными диагоналями основания]

Задача: объём прямой четырёхугольной призмы с ромбом в основании

Условие: Основанием прямой четырёхугольной призмы является ромб с диагоналями $12$ и $16$ . Боковое ребро призмы равно $10$ . Найдите объём призмы.

Пошаговое решение:

1) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96

2) Высота прямой призмы совпадает с её боковым ребром: $h = 10$ .

3) Вычисляем объём призмы:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = 96 \cdot 10 = 960

Ответ: 960.

Правильная призма

Правильная призма — это частный случай прямой призмы, основанием которой служит правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат или правильный шестиугольник).

• Правильная треугольная призма (сторона основания $a$ ):

V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h

• Правильная шестиугольная призма (сторона основания $a$ ): основание состоит из шести равных правильных треугольников, поэтому его площадь равна $S_{\text{осн}} = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ . Формула объёма:

V = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h

[Место для иллюстрации: Правильная шестиугольная призма с разбиением основания на 6 равносторонних треугольников]

Задача: нахождение объёма правильной шестиугольной призмы

Условие (прототип ЕГЭ): В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $2$ , а боковое ребро равно $3\sqrt{3}$ . Найдите объём этой призмы.

Пошаговое решение:

1) Найдём площадь правильного шестиугольника со стороной $a = 2$ :

S_{\text{осн}} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}

2) Высота правильной призмы равна длине бокового ребра: $h = 3\sqrt{3}$ .

3) Найдём объём призмы:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54

Ответ: 54.

Комбинация тел: прямая призма и цилиндр

В проверочных и самостоятельных работах 11 класса регулярно исследуется соотношение объёмов прямой призмы и цилиндра при взаимном вписывании и описании:

• Равенство высот: у цилиндра, вписанного в призму (или описанного около неё), высота строго совпадает с высотой призмы ( $h_{\text{цил}} = h_{\text{пр}}$ ).

• Отношение объёмов: отношение объёма цилиндра к объёму призмы равно отношению площадей их оснований, поскольку высоты сокращаются:

\dfrac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{пр}}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot h}{S_{\text{осн}} \cdot h} = \dfrac{\pi R^2}{S_{\text{осн}}}

[Место для иллюстрации: Цилиндр, вписанный в правильную четырёхугольную призму (вид сбоку и вид сверху)]

Задача: нахождение объёма призмы по объёму вписанного цилиндра

Условие: В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, объём которого равен $16\pi$ . Найдите объём призмы.

Пошаговое решение:

1) Пусть радиус основания цилиндра равен $R$ , а высота равна $h$ . Запишем объём цилиндра:

V_{\text{цил}} = \pi R^2 h = 16\pi \implies R^2 h = 16

2) Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, в который вписан круг радиуса $R$ . Длина стороны квадрата равна диаметру круга:

a = 2R

3) Площадь основания призмы равна площади квадрата:

S_{\text{осн}} = a^2 = (2R)^2 = 4R^2

4) Высота призмы равна высоте цилиндра $h$ . Выразим объём призмы:

V_{\text{пр}} = S_{\text{осн}} \cdot h = 4R^2 h = 4(R^2 h)

5) Подставим ранее найденное соотношение $R^2 h = 16$ :

V_{\text{пр}} = 4 \cdot 16 = 64

Ответ: 64.

Ошибки при решении задач на объём прямой призмы

При решении контрольных и экзаменационных заданий старшеклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Потеря коэффициента 1/2 в основании

Вычисляя площадь прямоугольного треугольника в основании, перемножают катеты $a \cdot b$ , забывая разделить на 2. В результате объём призмы оказывается завышен ровно в два раза. Всегда перепроверяйте: $S = \dfrac{1}{2}ab$ .

Смешение прямой и правильной призмы

Считают, что любая прямая призма является правильной. Это неверно: у прямой призмы вертикальны только боковые рёбра, а в основании может лежать разносторонний треугольник или трапеция. Правильной призма является исключительно тогда, когда её основание — правильный многоугольник.

Путаница высоты призмы и высоты основания

В призмах с треугольником или трапецией в основании путают высоту основания $h_{\text{тр}}$ и высоту всей призмы $h$ (боковое ребро). Это разные отрезки: высота основания лежит в горизонтальной плоскости, а высота призмы направлена вертикально.

Ошибка с радиусом вписанного цилиндра

В задачах с цилиндром, вписанным в четырёхугольную призму со стороной основания $a$ , радиус цилиндра ошибочно приравнивают к стороне $a$ . Сторона квадрата равна диаметру цилиндра, поэтому радиус равен половине стороны: $R = \dfrac{a}{2}$ .

Задачи на объём прямой призмы с решениями

Задания на вычисление объёма прямой треугольной, четырёхугольной, шестиугольной призмы и комбинаций с цилиндром собраны ниже для подготовки к самостоятельным и контрольным работам по геометрии в 11 классе, а также к базовому и профильному ЕГЭ по математике. В каждом задании вы найдёте подробное решение и проверку ответов.

Задача 1

Объём вытесненной жидкости при погружении детали

Темы1

Курсы2

Практико-ориентированная стереометрическая задача на закон вытеснения жидкости (метод измерения объёма тел сложной формы). По условию жидкость налита в сосуд формы правильной четырёхугольной призмы (квадрат в основании) или прямоугольного параллелепипеда.Вариант 1

В лабораторный резервуар, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём образца минерала, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в резервуаре поднялся на 12 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Прямоугольный параллелепипед для задачи с объемом

Ваш ответ

Задача 2

Переливание жидкости между правильными призмами

Темы3

Курсы3

Стереометрическая задача на сохранение объёма несжимаемой жидкости при переливании между сосудами формы правильной четырёхугольной призмы (или цилиндрическими сосудами)Вариант 1

Жидкость в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 600$ см. На каком уровне окажется жидкость, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания в 5 раз больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Прямоугольный параллелепипед для задачи с объемом

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план