Объёмы тел 11 класс: формулы, перевод единиц, стереометрия и тренажёры

Тема «Объёмы тел в стереометрии» в 11 классе — фундамент курса пространственной геометрии и обязательный компонент профильного и базового ЕГЭ по математике. Задачи на объёмы многогранников и тел вращения проверяются как в первой части экзамена, так и в развёрнутом критериальном задании по стереометрии. Успешное освоение темы требует не механического заучивания формул, а ясного понимания геометрической природы объёма, умения разбивать сложные тела на простые составные элементы и безошибочно переводить кубические единицы измерения.

На этой странице представлен полный структурированный справочник: аксиомы и понятие объёма, правила перевода единиц измерения, формулы вычисления объёмов всех многогранников (куб, параллелепипед, призма, пирамида, усечённая пирамида) и тел вращения (цилиндр, конус, усечённый конус, шар и его части), разбор типовых экзаменационных задач и прямой переход к интерактивным онлайн-тренажёрам Экзамео с автоматической проверкой ответов.

Понятие объёма и основные свойства

Объём геометрического тела: положительная величина, характеризующая часть пространства, которую занимает данное тело, и обладающая следующими фундаментальными свойствами.

• Положительность: каждое геометрическое тело имеет объём, выражаемый положительным действительным числом ( $V > 0$ ).

• Свойство равных тел: равные тела имеют равные объёмы. Если фигуры совмещаются движением пространства, их объёмы строго совпадают ( $T_1 = T_2 \implies V_1 = V_2$ ).

• Аддитивность: если тело составлено из нескольких непересекающихся тел, его объём равен сумме объёмов этих тел:

V = V_1 + V_2 + \dots + V_n

• Единица измерения: за единицу объёма принимается объём единичного куба, длина ребра которого равна одной единице длины ( $V_{\text{ед}} = 1^3 = 1$ ).

• Отношение объёмов подобных тел: отношение объёмов двух подобных пространственных фигур равно кубу коэффициента их линейного подобия:

\dfrac{V_1}{V_2} = k^3

Единицы измерения объёма и правила перевода

При переводе кубических величин линейный коэффициент перевода всегда возводится в третью степень. В таблице систематизированы основные единицы измерения объёма и их соотношения:

Единица объёма

Связь с метрической системой

Связь с литрами и миллилитрами

$1\text{ м}^3$ (кубический метр)

$1000\text{ дм}^3 = 1\,000\,000\text{ см}^3$

$1000\text{ л}$

$1\text{ дм}^3$ (кубический дециметр)

$0{,}001\text{ м}^3 = 1000\text{ см}^3$

$1\text{ л}$

$1\text{ см}^3$ (кубический сантиметр)

$0{,}001\text{ дм}^3 = 1000\text{ мм}^3$

$1\text{ мл}$

$1\text{ мм}^3$ (кубический миллиметр)

$0{,}001\text{ см}^3 = 10^{-9}\text{ м}^3$

$0{,}001\text{ мл}$

Все формулы объёмов многогранников для 11 класса

Многогранники подразделяются на две ключевые группы: призматические тела (с двумя равными параллельными основаниями) и пирамидальные тела (с одним основанием и вершиной).

Объём куба, параллелепипеда и призмы

• Куб с ребром $a$ :

V = a^3

• Прямоугольный параллелепипед с линейными размерами $a$ , $b$ , $c$ (длина, ширина, высота):

V = a \cdot b \cdot c

• Произвольная призма (прямая или наклонная) с площадью основания $S_{\text{осн}}$ и высотой $h$ :

V = S_{\text{осн}} \cdot h

• Наклонная призма через сечение: объём равен произведению площади перпендикулярного сечения $S_{\text{перп}}$ на длину бокового ребра $l$ :

V = S_{\text{перп}} \cdot l

Объём пирамиды и усечённой пирамиды

• Произвольная пирамида: объём равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h

• Правильный тетраэдр с ребром $a$ : правильный многогранник, все грани которого — равносторонние треугольники. Объём вычисляется через длину ребра:

V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}

• Усечённая пирамида с высотой $h$ и площадями оснований $S_1$ и $S_2$ :

V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)

Пример: расчёт объёма отсечённой треугольной пирамиды (ЕГЭ)

Задание: В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ , площадь основания которой равна 18, а боковое ребро равно 6, найдите объём многогранника $ABCA_1$ .

Пошаговое решение:

1) Многогранник $ABCA_1$ является треугольной пирамидой с основанием $ABC$ и вершиной $A_1$ .

2) Площадь основания пирамиды совпадает с площадью основания призмы: $S_{\text{осн}} = 18$ .

3) Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ . Следовательно, высота пирамиды равна длине бокового ребра: $h = AA_1 = 6$ .

4) Вычисляем объём пирамиды по формуле.

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36

Ответ: 36.

Формулы объёмов тел вращения

Тела вращения образуются вращением плоских фигур вокруг фиксированной оси. Их объёмы вычисляются через радиусы оснований и высоты.

Объём цилиндра, конуса и усечённого конуса

• Прямой круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $h$ :

V = \pi R^2 h

• Прямой круговой конус с радиусом основания $R$ и высотой $h$ :

V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h

• Усечённый конус с высотой $h$ , радиусом нижнего основания $R_1$ и верхнего основания $R_2$ :

V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right)

Объём шара и его частей

• Шар радиуса $R$ :

V = \dfrac{4}{3}\pi R^3

• Шаровой сегмент: часть шара, отсекаемая плоскостью. Объём выражается через высоту сегмента $h$ и радиус шара $R$ :

V = \pi h^2 \left(R - \dfrac{h}{3}\right)

• Шаровой сектор: тело, полученное объединением шарового сегмента с конусом, вершина которого находится в центре шара:

V = \dfrac{2}{3}\pi R^2 h

Пример: расчёт объёма жидкости при переливании (ЕГЭ)

Задание: В цилиндрический сосуд налили $2000\text{ см}^3$ воды. Уровень жидкости достигает высоты 12 см. В воду полностью погрузили деталь, после чего уровень жидкости поднялся на 9 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Пошаговое решение:

1) Объём цилиндра прямо пропорционален высоте столба жидкости при постоянном радиусе основания: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ .

2) Найдём площадь основания цилиндрического сосуда.

S_{\text{осн}} = \dfrac{V_{\text{исх}}}{h_{\text{исх}}} = \dfrac{2000}{12} = \dfrac{500}{3}\text{ см}^2

3) По закону Архимеда объём погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости, то есть объёму цилиндрического столба высотой $\Delta h = 9\text{ см}$ .

V_{\text{дет}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h = \dfrac{500}{3} \cdot 9 = 500 \cdot 3 = 1500\text{ см}^3

Ответ: 1500.

Типичные ошибки при нахождении объёмов

При решении стереометрических задач на объёмы учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки:

Ошибки при переводе кубических единиц

Переводят объём по линейному коэффициенту (например, считают, что в $1\text{ м}^3$ содержится 100 или 1000 см³). Запомните: линейный коэффициент всегда возводится в куб: $1\text{ м} = 100\text{ см} \implies 1\text{ м}^3 = 100^3 = 1\,000\,000\text{ см}^3$ .

Потеря коэффициента 1/3

В формулах объёма пирамиды и конуса забывают множитель $\dfrac{1}{3}$ и вычисляют произведение $S_{\text{осн}} \cdot h$ . В результате получают объём призмы или цилиндра, завышая итоговый ответ ровно в три раза.

Подстановка апофемы или ребра вместо высоты

В наклонных телах или пирамидах подставляют длину бокового ребра или высоту боковой грани (апофему) вместо высоты тела $h$ . Высота тела — это строго перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Задания и тренажёр по теме «Объёмы тел» на Экзамео

В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собрана полная база стереометрических задач по теме «Объёмы геометрических тел» для 11 класса: вычисление объёмов многогранников по чертежам, переливание жидкостей в сосудах, комбинации вписанных и описанных тел, а также задания по стереометрии из открытого банка ФИПИ. Отрабатывайте решение задач онлайн, разбирайте подробные эталоны вычислений и гарантируйте себе максимальные баллы на ЕГЭ!

Задача 1

Объём прямоугольного тетраэдра и обратные задачи

Темы3

Курсы3

Стереометрическая задача на нахождение объёма треугольной пирамиды с взаимно перпендикулярными боковыми рёбрами (прямоугольный тетраэдр) либо одного из рёбер по известному объёму и двум другим рёбрам.Вариант 1

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$ , $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 15$ , $AC = 7$ и $AD = 9$ .

Прямоугольный тэтраэдр

Ваш ответ

Задача 2

Переливание жидкости между правильными призмами

Темы2

Курсы3

Стереометрическая задача на сохранение объёма несжимаемой жидкости при переливании между сосудами формы правильной четырёхугольной призмы (или цилиндрическими сосудами)Вариант 1

Жидкость в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 600$ см. На каком уровне окажется жидкость, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания в 5 раз больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Прямоугольный параллелепипед для задачи с объемом

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план