Задачи на объём шара: формулы и тренажёры с решениями

Задачи на объём шара — один из блоков стереометрии 11 класса и экзаменационных заданий базового и профильного ЕГЭ по математике. В отличие от многогранников, где вычисления зависят от формы основания, объём шара определяется единственным линейным параметром — его радиусом (или диаметром). Однако в реальных задачах часто требуется работать с телами вращения при изменении радиуса, переливании жидкости, погружении шара в цилиндрический сосуд или в комбинациях со вписанными и описанными многогранниками.

На этой странице представлен разбор темы объём шара: зависимость объёма от радиуса при масштабировании, пошаговый разбор прототипов экзаменационных задач (включая погружение деталей и вписанные сферы) и после теории и формул вы найдете интерактивные тренажёрам с автоматической проверкой ответов и подробным пошаговым решением.

Формула объёма шара

Шар: геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не превышающем радиус $R$ . Шар образуется вращением полукруга вокруг его диаметра.

• Объём шара через радиус $R$ : равен четырём третям произведения числа $\pi$ на куб радиуса:

V = \dfrac{4}{3}\pi R^3

• Объём шара через диаметр $D$ ( $D = 2R \implies R = \dfrac{D}{2}$ ):

V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{D}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{D^3}{8} = \dfrac{1}{6}\pi D^3

Как можно понять, нужно выучить всего 1 формулу и использовать её, просто рассчитывая либо радиус, либо диаметр.

Решение типовых задач на объём шара

При сдаче контрольных работ и экзаменов школьники сталкиваются с четырьмя основными категориями задач. Ниже приведены подробные эталоны решений каждого типа:

1. Задачи на изменение объёма при изменении радиуса (кубическая зависимость)

Задание (прототип ЕГЭ): Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 3 раза?

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу исходного объёма шара радиуса $R_1$ :

V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3

2) Пусть новый радиус в 3 раза больше исходного: $R_2 = 3R_1$ . Подставим его в формулу объёма:

V_2 = \dfrac{4}{3}\pi R_2^3 = \dfrac{4}{3}\pi (3R_1)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27R_1^3 = 27 \cdot \left(\dfrac{4}{3}\pi R_1^3\right) = 27 V_1

3) Найдём отношение объёмов:

\dfrac{V_2}{V_1} = 27

Ответ: в 27 раз.

2. Задачи на погружение шара в жидкость (закон Архимеда)

Задание: В цилиндрический сосуд с водой опустили металлический шар радиуса $3\text{ см}$ . При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $4\text{ см}$ . Найдите радиус основания цилиндрического сосуда. Ответ дайте в сантиметрах.

Пошаговое решение:

1) По закону Архимеда объём вытесненной жидкости в точности равен объёму погружённого тела. Вычислим объём металлического шара:

V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3}\pi R_{\text{шара}}^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\text{ см}^3

2) Вытесненная жидкость в сосуде принимает форму цилиндра с радиусом основания $R_{\text{цил}}$ и высотой $\Delta h = 4\text{ см}$ . Запишем формулу объёма вытесненного слоя воды:

V_{\text{выт}} = \pi R_{\text{цил}}^2 \cdot \Delta h = \pi R_{\text{цил}}^2 \cdot 4

3) Приравняем объём вытесненной воды к объёму шара:

4\pi R_{\text{цил}}^2 = 36\pi

4) Разделим обе части уравнения на $4\pi$ :

R_{\text{цил}}^2 = 9 \implies R_{\text{цил}} = 3\text{ см}

Ответ: 3.

3. Задачи на переплавку нескольких шаров в один

Задание: Три металлических свинцовых шара с радиусами 3, 4 и 5 переплавили в один большой шар. Найдите радиус полученного шара.

Пошаговое решение:

1) По закону сохранения массы объём получившегося шара равен сумме объёмов трёх исходных шаров:

V = V_1 + V_2 + V_3

2) Подставим формулы объёмов шаров через их радиусы:

\dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3 + \dfrac{4}{3}\pi R_2^3 + \dfrac{4}{3}\pi R_3^3

3) Сократим обе части уравнения на общий множитель $\dfrac{4}{3}\pi$ :

R^3 = R_1^3 + R_2^3 + R_3^3

4) Подставим числовые значения радиусов:

R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216

5) Извлечём кубический корень из 216:

R = \sqrt[3]{216} = 6

Ответ: 6.

4. Комбинация шара и цилиндра (шар, вписанный в цилиндр)

Задание (задача Архимеда из ЕГЭ): Около шара описан цилиндр, объём которого равен 45. Найдите объём вписанного шара.

Пошаговое решение:

1) Если цилиндр описан около шара радиуса $R$ , то радиус основания цилиндра равен радиусу шара ( $R_{\text{цил}} = R$ ), а высота цилиндра равна диаметру шара ( $h = 2R$ ).

2) Запишем формулу объёма цилиндра:

V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot h = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3

3) Запишем формулу объёма вписанного шара:

V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{2}{3} \cdot (2\pi R^3)

4) Заметим, что объём вписанного шара всегда составляет ровно $\dfrac{2}{3}$ от объёма описанного цилиндра:

V_{\text{шара}} = \dfrac{2}{3} V_{\text{цил}}

5) Подставим известное значение объёма цилиндра:

V_{\text{шара}} = \dfrac{2}{3} \cdot 45 = 2 \cdot 15 = 30

Ответ: 30.

Ошибки при вычислении объёма шара

При решении заданий на объём шара чаще всего допускаются следующие три ошибки, постарайтесь учесть их при решении заданий на объём шара в 11 классе и на ЕГЭ по математике:

Возведение радиуса в квадрат вместо куба

Путают формулу площади поверхности сферы ( $S = 4\pi R^2$ ) и формулу объёма шара ( $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ ). Если радиус возведён во вторую степень, результат неверен: объём — трёхмерная величина, требующая третьей степени радиуса.

Линейное изменение объёма при масштабировании

Считают, что если радиус увеличился в 2 раза, то и объём шара вырастет в 2 раза. Объём изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия: при росте радиуса в 2 раза объём увеличивается в $2^3 = 8$ раз.

Подстановка диаметра вместо радиуса

Если в условии дан диаметр шара $D = 10$ , его значение напрямую подставляют в формулу $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ , забывая разделить диаметр пополам ( $R = 5$ ). Это приводит к завышению вычисленного объёма ровно в 8 раз.

Задачи на объём шара для 11 класса

В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собрана полная коллекция задач на объём шара: от базового нахождения объёма по радиусу и диаметру до задач на переливание жидкостей, погружение тел, переплавку металлов и комбинации шара с кубом, призмой и цилиндром из открытого банка ФИПИ. Тренируйтесь онлайн, получайте мгновенный отклик системы и изучайте подробные пошаговые эталоны решений!

Задача 1

Отношение объёмов двух шаров

Темы2

Курсы2

Вариант 1

Даны два шара с радиусами 28 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Две сферы

Ваш ответ

Задача 2

Масса и объём двух однородных шаров

Темы2

Курсы2

Задача на отношение объёмов и масс подобных трёхмерных тел. Рассматриваются два однородных шара, изготовленных из одного и того же материала.Вариант 1

Однородный шар радиусом 6 см весит 8 граммов. Сколько граммов весит шар радиусом 12 см, изготовленный из того же материала?

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Формула объёма шара

Решение типовых задач на объём шара

Ошибки при вычислении объёма шара

Задачи на объём шара для 11 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой