Общие касательные двух окружностей: внешние, внутренние и свойства

В этом разделе рассматриваются общие касательные двух окружностей, их определение, виды и ключевые геометрияческие свойства. Материал содержит условия существования общих касательных в зависимости от взаимного расположения окружностей, теоремы о равенстве отрезков касательных и расчётные формулы. Разобраны отличия между внешними и внутренними общими касательными.

Приведены примеры решения практических задач, характерных для контрольных работ 8 класса, олимпиад и экзаменационных материалов ОГЭ и ЕГЭ по математике. Отдельное внимание уделено построению вспомогательных прямоугольных треугольников с помощью проведения радиусов в точки касания и проведения линий, параллельных касательным.

Отработать тему общие касательные двух окружностей можно в конце страницы после теории в тренажёрах с пошаговыми решениями.

Теоретический справочник: общие касательные двух окружностей

Ниже подробно разбираем все определения, виды, свойства и формулы для общих касательных двух окружностей. Важно отметить, что в основном задачи на общие касательные встречаются во вторых частях экзаменов или на олимпиадах.D

Определение и виды общих касательных

Прямая называется общей касательной двух окружностей, если она касается каждой из этих окружностей (имеет с каждой из них ровно по одной общей точке).

Внешняя и внутренняя общие касательные 🎯

• Внешняя общая касательная: прямая, относительно которой обе окружности лежат по одну сторону.

• Внутренняя общая касательная: прямая, относительно которой окружности лежат по разные стороны (касательная пересекает отрезок линий центров $O_1O_2$ ).

Количество общих касательных в зависимости от расположения

Число общих касательных к двум окружностям с радиусами $R_1$ и $R_2$ ( $R_1 \ge R_2$ ) и расстоянием между центрами $d = O_1O_2$ зависит от их взаимного расположения:

Взаимное расположение

Условие ( $d$ и $R_1, R_2$ )

Число внешних / внутренних

Всего касательных

Расположены вне друг друга

$d > R_1 + R_2$

2 внешних + 2 внутренних

Внешнее касание

$d = R_1 + R_2$

2 внешних + 1 внутренняя

Пересекаются в двух точках

$R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$

2 внешних + 0 внутренних

Внутреннее касание

$d = R_1 - R_2$

1 внешняя + 0 внутренних

Одна внутри другой (не касаются)

$d < R_1 - R_2$

0 внешних + 0 внутренних

Формулы длин отрезков общих касательных

Отрезком общей касательной называется отрезок, соединяющий точки касания данной прямой с первой и второй окружностями.

Расчётные формулы отрезков касательных:

1. Длина отрезка внешней общей касательной ( $L_{\text{внеш}}$ ):

L_{\text{внеш}} = \sqrt{d^2 - (R_1 - R_2)^2}

2. Длина отрезка внутренней общей касательной ( $L_{\text{внутр}}$ ):

L_{\text{внутр}} = \sqrt{d^2 - (R_1 + R_2)^2}

где $d = O_1O_2$ — расстояние между центрами окружностей, $R_1$ и $R_2$ — радиусы этих окружностей ( $R_1 \ge R_2$ ).

Важно запомнить! 💡

1. Длины двух симметричных внешних касательных между точками касания равны между собой.

2. Длины двух симметричных внутренних касательных между точками касания равны между собой.

3. Точки касания образуют с радиусами прямые углы $90^\circ$ ( $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$ ), поэтому решение большинства задач сводится к применению теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике или трапеции $O_1ABO_2$ .

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на общие касательные двух окружностей в 8 классе придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выполните чертёж и проведите радиусы: соедините центры $O_1$ и $O_2$ и проведите радиусы в точки касания перпендикулярно касательной линии.

Постройте прямоугольный треугольник: из центра меньшей окружности опустите перпендикуляр на радиус большей окружности (для внешней касательной) или на его продолжение (для внутренней касательной).

Примените теорему Пифагора: найдите искомый катет прямоугольного треугольника, который равен длине отрезка касательной, и запишите ответ.

Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс

Рассмотрите решения характерных задач на общие касательные двух окружностей из школьной программы и экзаменационных материалов.

Пример 1: Нахождение длины внешней общей касательной

Задание: Радиусы двух окружностей равны $8\text{ см}$ и $3\text{ см}$ , а расстояние между их центрами равно $13\text{ см}$ . Найдите длину отрезка общей внешней касательной между точками касания.

Подробное решение:

1) Выпишем известные величины: $R_1 = 8\text{ см}$ , $R_2 = 3\text{ см}$ , расстояние между центрами $d = O_1O_2 = 13\text{ см}$ .

2) Применим формулу длины внешней общей касательной:
$$L_{\text{внеш}} = \sqrt{d^2 - (R_1 - R_2)^2}$$

3) Вычислим разность радиусов:
$$R_1 - R_2 = 8 - 3 = 5\text{ см}$$

4) Подставим значения под корень:
$$L_{\text{внеш}} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$$

Ответ: $12\text{ см}$ .

Пример 2: Окружности, касающиеся внешним образом, и общие касательные

Задание: Две окружности с радиусами $16\text{ см}$ и $9\text{ см}$ касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной.

Подробное решение:

1) Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами $d$ равно сумме их радиусов:
$$d = O_1O_2 = R_1 + R_2 = 16 + 9 = 25\text{ см}$$

2) Вычислим разность радиусов:
$$R_1 - R_2 = 16 - 9 = 7\text{ см}$$

3) Найдем длину внешней касательной по теореме Пифагора:
$$L = \sqrt{d^2 - (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\text{ см}$$

(Замечание: Для двух внешне касающихся окружностей действует полезная готовая формула $L = 2\sqrt{R_1 R_2} = 2\sqrt{16 \cdot 9} = 2 \cdot 12 = 24\text{ см}$ ).

Ответ: $24\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Общие касательные двух окружностей» на Экзамео

Отработать определение, виды и расчёт длин общих касательных двух окружностей можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео». Задания для 8 класса охватывают определение количества касательных, построение вспомогательных прямоугольных треугольников и решение практической геометрии с окружностями.

Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что помогает своевременно разобрать ошибки. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы