Третий признак подобия треугольников

Дано

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых стороны пропорциональны:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$

Доказать

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство

Для того чтобы доказать подобие треугольников, достаточно, используя второй признак подобия, доказать, что $\angle A = \angle A_1$.

Шаг 1. Построение вспомогательного треугольника

Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого:

$\angle 1 = \angle A_1$

$\angle 2 = \angle B_1$

Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку (по двум углам).

Следовательно:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC_2}{B_1C_1} = \dfrac{C_2A}{C_1A_1}$

Шаг 2. Сравнение с условием

По условию теоремы:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$

Сравнивая эти равенства с равенствами из шага 1, получаем:

$BC = BC_2$, $CA = C_2A$

Шаг 3. Равенство треугольников

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трём сторонам:

$AB$ — общая сторона
$BC = BC_2$ (доказано выше)
$CA = C_2A$ (доказано выше)

Из равенства треугольников следует:

$\angle A = \angle 1$

А так как $\angle 1 = \angle A_1$ (по построению), то:

$\angle A = \angle A_1$

Вывод

Таким образом, мы доказали, что $\angle A = \angle A_1$.

Теперь проверим условие второго признака подобия:

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ — верно по условию (из пропорциональности трёх сторон)
$\angle A = \angle A_1$ — доказано

Следовательно, по второму признаку подобия:

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Теорема доказана.