8 задание ОГЭ по математике - все виды заданий на степени, корни и выражения

Задание 8 ОГЭ по математике входит в базовый модуль «Алгебра» первой части экзамена и приносит 1 первичный балл. Оно проверяет умение выполнять тождественные преобразования рациональных и иррациональных выражений, применять свойства степеней с целым показателем, правила действий с арифметическими квадратными корнями и формулы сокращённого умножения (ФСУ) с последующей подстановкой числовых значений переменных.

На этой странице собрана вся необходимая теоретическая база кодификатора ФИПИ за 7–9 классы: полный свод формул степеней и корней, правила сокращения дробей, рациональные приёмы раскрытия скобок и разбор всех существующих типов прототипов открытого банка ФИПИ.

Отработать навыки упрощения выражений помогут интерактивные тренажёры Задания 8 ОГЭ по математике с автоматической проверкой и пошаговыми решениями.

Все прототипы 8 Задания ОГЭ по математике

Все виды 8 задания ОГЭ по математике можно разделить на четыре большие группы

1. Свойства степеней 🔢

Выражения с одинаковыми основаниями, отрицательными показателями и возведением степени в степень вида $\dfrac{(a^3)^{-2} \cdot a^9}{a^4}$ .

2. Квадратные корни 🌿

Извлечение корня из произведения и дроби, вынесение множителя из-под знака корня, умножение корней вида $\sqrt{a^{12} b^6}$ и $(\sqrt{18} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$ .

3. Дроби и формулы ФСУ ✂️

Рациональные алгебраические дроби с формулами разности квадратов, квадрата суммы/разности и сокращением перед подстановкой чисел.

4. Выражения с несколькими переменными 🧩

Двух- и трёхэтажные алгебраические дроби, требующие приведения к общему знаменателю и вынесения общего множителя за скобки.

Справочник формул: Степени и квадратные корни

Таблица всех базовых тождеств для решения заданий 8 линии:

Свойства степеней ( $a, b > 0$ )

Свойства квадратных корней ( $a, b \ge 0$ )

$a^n \cdot a^m = a^{n + m}$

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b > 0)$

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

$(\sqrt{a})^2 = a$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$\sqrt{a^{2n}} = a^n \quad (a \ge 0)$

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a^0 = 1$

$\sqrt{a^2} = |a|$

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Ключевые формулы ФСУ для 8 задания 🎯

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Главный секрет Задания 8 ОГЭ! 💡

1. Сначала упростить — потом подставлять! Никогда не подставляйте длинные дробные или иррациональные значения переменных сразу в исходное выражение. В 100% случаев выражение сначала сокращается до компактного вида.

2. Степень четная под корнем делится на 2: При извлечении корня из четной степени показатель делится на два: $\sqrt{a^{16}} = a^8$ , $\sqrt{x^6} = x^3$ .

3. Ошибки с минусом перед дробью: Знак « $-$ » перед дробью относится ко всему числителю целиком. Всегда ставьте скобки при раскрытии: $-\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{-a + b}{c}$ .

Пошаговый алгоритм решения Задания 8

При выполнении Задания 8 на ОГЭ придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Упростите выражение алгебраически: примените свойства степеней, формулы ФСУ, вынесите общий множитель за скобки и сократите дроби.

Подставьте числовые значения: замените переменные числами из условия задачи и аккуратно выполните арифметические действия.

Запишите ответ в бланк № 1: запишите результат в виде целого числа или конечной десятичной дроби (каждый символ в отдельной клетке).

Разбор всех прототипов Задания 8 из банка ФИПИ

Рассмотрите подробные решения характерных прототипов 8 задания ОГЭ.

Пример 1: Выражение со степенями

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{a^{-11} \cdot a^7}{a^{-7}}$ при $a = 4$ .

Подробное решение:

1) Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием в числителе:

a^{-11} \cdot a^7 = a^{-11 + 7} = a^{-4}

2) Применим свойство деления степеней:

\dfrac{a^{-4}}{a^{-7}} = a^{-4 - (-7)} = a^{-4 + 7} = a^3

3) Подставим значение $a = 4$ :

a^3 = 4^3 = 64

Ответ: $64$ .

Пример 2: Выражение с квадратными корнями и переменными

Задание: Найдите значение выражения $\sqrt{16a^4 b^6}$ при $a = 3$ и $b = 2$ .

Подробное решение:

1) Извлечем корень из каждого сомножителя отдельно:

\sqrt{16a^4 b^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6} = 4 \cdot a^2 \cdot b^3

2) Подставим заданные числовые значения $a = 3$ и $b = 2$ :

4 \cdot 3^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 9 \cdot 8 = 36 \cdot 8 = 288

Ответ: $288$ .

Пример 3: Алгебраическая дробь и формулы ФСУ

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{a^2 - 4b^2}{a - 2b} - a$ при $a = 15$ и $b = 3{,}5$ .

Подробное решение:

1) Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов ( $a^2 - (2b)^2$ ):

a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)

2) Подставим разложение в дробь и сократим на $(a - 2b)$ :

\dfrac{(a - 2b)(a + 2b)}{a - 2b} - a = (a + 2b) - a = 2b

3) Подставим числовое значение $b = 3{,}5$ :

2 \cdot 3{,}5 = 7

Ответ: $7$ .

Тренажёры по Заданию 8 ОГЭ на Экзамео

Довести до автоматизма решение Задания 8 ОГЭ по математике можно с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов задач открытого банка ФИПИ на степени, квадратные корни, алгебраические дроби и формулы сокращённого умножения.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому выражению. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, осваивайте алгебраические тождества и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Задача 1

Сокращение дроби с квадратом произведения числа и корня

Темы2

Вариант 1

Найдите значение выражения:

\frac{1152}{(12\sqrt{2})^2}

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Произведение сопряженных квадратных корней

Темы3

Вариант 1

Найдите значение выражения:

(\sqrt{109} - \sqrt{70})(\sqrt{109} + \sqrt{70})

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Все прототипы 8 Задания ОГЭ по математике

Справочник формул: Степени и квадратные корни

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Пошаговый алгоритм решения Задания 8

Разбор всех прототипов Задания 8 из банка ФИПИ

Тренажёры по Заданию 8 ОГЭ на Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании