МатематикаОГЭ по математике

8 задание ОГЭ по математике

8 задание ОГЭ по математике 2027 года. Свойства степеней с целым показателем, квадратные корни, формулы сокращённого умножения, алгебраические выражение, разбор всех прототипов и тренажёры на Экзамео.

Задание 8 ОГЭ по математике входит в базовый модуль «Алгебра» первой части экзамена и приносит 1 первичный балл. Оно проверяет умение выполнять тождественные преобразования рациональных и иррациональных выражений, применять свойства степеней с целым показателем, правила действий с арифметическими квадратными корнями и формулы сокращённого умножения (ФСУ) с последующей подстановкой числовых значений переменных.

На этой странице собрана вся необходимая теоретическая база кодификатора ФИПИ за 7–9 классы: полный свод формул степеней и корней, правила сокращения дробей, рациональные приёмы раскрытия скобок и разбор всех существующих типов прототипов открытого банка ФИПИ.

Отработать навыки упрощения выражений помогут интерактивные тренажёры Задания 8 ОГЭ по математике с автоматической проверкой и пошаговыми решениями.

Все прототипы 8 Задания ОГЭ по математике

Все виды 8 задания ОГЭ по математике можно разделить на четыре большие группы

1. Свойства степеней 🔢

Выражения с одинаковыми основаниями, отрицательными показателями и возведением степени в степень вида (a3)−2⋅a9a4\dfrac{(a^3)^{-2} \cdot a^9}{a^4}.

2. Квадратные корни 🌿

Извлечение корня из произведения и дроби, вынесение множителя из-под знака корня, умножение корней вида a12b6\sqrt{a^{12} b^6} и (18−2)⋅2(\sqrt{18} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}.

3. Дроби и формулы ФСУ ✂️

Рациональные алгебраические дроби с формулами разности квадратов, квадрата суммы/разности и сокращением перед подстановкой чисел.

4. Выражения с несколькими переменными 🧩

Двух- и трёхэтажные алгебраические дроби, требующие приведения к общему знаменателю и вынесения общего множителя за скобки.

Справочник формул: Степени и квадратные корни

Таблица всех базовых тождеств для решения заданий 8 линии:

Свойства степеней (a,b>0a, b > 0)

Свойства квадратных корней (a,b≥0a, b \ge 0)

an⋅am=an+ma^n \cdot a^m = a^{n + m}

a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

anam=an−m\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m}

ab=ab(b>0)\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b > 0)

(an)m=an⋅m(a^n)^m = a^{n \cdot m}

(a)2=a(\sqrt{a})^2 = a

(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

a2n=an(a≥0)\sqrt{a^{2n}} = a^n \quad (a \ge 0)

a−n=1an,a0=1a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a^0 = 1

a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Ключевые формулы ФСУ для 8 задания 🎯

• Разность квадратов: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

• Квадрат суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

• Квадрат разности: (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Главный секрет Задания 8 ОГЭ! 💡

1. Сначала упростить — потом подставлять! Никогда не подставляйте длинные дробные или иррациональные значения переменных сразу в исходное выражение. В 100% случаев выражение сначала сокращается до компактного вида.

2. Степень четная под корнем делится на 2: При извлечении корня из четной степени показатель делится на два: a16=a8\sqrt{a^{16}} = a^8, x6=x3\sqrt{x^6} = x^3.

3. Ошибки с минусом перед дробью: Знак «−-» перед дробью относится ко всему числителю целиком. Всегда ставьте скобки при раскрытии: −a−bc=−a+bc-\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{-a + b}{c}.

Пошаговый алгоритм решения Задания 8

При выполнении Задания 8 на ОГЭ придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

1

Упростите выражение алгебраически: примените свойства степеней, формулы ФСУ, вынесите общий множитель за скобки и сократите дроби.

2

Подставьте числовые значения: замените переменные числами из условия задачи и аккуратно выполните арифметические действия.

3

Запишите ответ в бланк № 1: запишите результат в виде целого числа или конечной десятичной дроби (каждый символ в отдельной клетке).

Разбор всех прототипов Задания 8 из банка ФИПИ

Рассмотрите подробные решения характерных прототипов 8 задания ОГЭ.

Пример 1: Выражение со степенями

Задание: Найдите значение выражения a−11⋅a7a−7\dfrac{a^{-11} \cdot a^7}{a^{-7}} при a=4a = 4.

Подробное решение:

1) Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием в числителе:

a−11⋅a7=a−11+7=a−4a^{-11} \cdot a^7 = a^{-11 + 7} = a^{-4}

2) Применим свойство деления степеней:

a−4a−7=a−4−(−7)=a−4+7=a3\dfrac{a^{-4}}{a^{-7}} = a^{-4 - (-7)} = a^{-4 + 7} = a^3

3) Подставим значение a=4a = 4:

a3=43=64a^3 = 4^3 = 64

Ответ: 6464.

Пример 2: Выражение с квадратными корнями и переменными

Задание: Найдите значение выражения 16a4b6\sqrt{16a^4 b^6} при a=3a = 3 и b=2b = 2.

Подробное решение:

1) Извлечем корень из каждого сомножителя отдельно:

16a4b6=16⋅a4⋅b6=4⋅a2⋅b3\sqrt{16a^4 b^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6} = 4 \cdot a^2 \cdot b^3

2) Подставим заданные числовые значения a=3a = 3 и b=2b = 2:

4⋅32⋅23=4⋅9⋅8=36⋅8=2884 \cdot 3^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 9 \cdot 8 = 36 \cdot 8 = 288

Ответ: 288288.

Пример 3: Алгебраическая дробь и формулы ФСУ

Задание: Найдите значение выражения a2−4b2a−2b−a\dfrac{a^2 - 4b^2}{a - 2b} - a при a=15a = 15 и b=3,5b = 3{,}5.

Подробное решение:

1) Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов (a2−(2b)2a^2 - (2b)^2):

a2−4b2=(a−2b)(a+2b)a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)

2) Подставим разложение в дробь и сократим на (a−2b)(a - 2b):

(a−2b)(a+2b)a−2b−a=(a+2b)−a=2b\dfrac{(a - 2b)(a + 2b)}{a - 2b} - a = (a + 2b) - a = 2b

3) Подставим числовое значение b=3,5b = 3{,}5:

2⋅3,5=72 \cdot 3{,}5 = 7

Ответ: 77.

Тренажёры по Заданию 8 ОГЭ на Экзамео

Довести до автоматизма решение Задания 8 ОГЭ по математике можно с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов задач открытого банка ФИПИ на степени, квадратные корни, алгебраические дроби и формулы сокращённого умножения.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому выражению. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, осваивайте алгебраические тождества и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Задача 1
Сумма квадратов суммы и разности корней
Темы3
Темы задачи
Квадрат суммыКвадрат разностиФормулы сокращенного умножения
Вариант 1

Найдите значение выражения:

(20−18)2+(20+18)2(\sqrt{20} - \sqrt{18})^2 + (\sqrt{20} + \sqrt{18})^2
Ваш ответ
Задача 2
Формула сокращенного умножения под корнем
Темы2
Темы задачи
Квадрат суммыВыделение полного квадрата
Вариант 1

Найдите значение выражения:

(34−256−34+256)⋅32\left( \sqrt{34 - \sqrt{256}} - \sqrt{34 + \sqrt{256}} \right) \cdot \sqrt{32}
Ваш ответ

Темы, которые встречаются в этом задании

Квадрат суммыФормула (a + b)² = a² + 2ab + b² и её применениеОткрыть темуСвойства арифметического квадратного корняСистема правил, определяющих, как можно преобразовывать выражения под знаком корня и вне его; знание этих свойств необходимо для решения уравнений, неравенств и упрощения иррациональных выражений в заданиях ЕГЭ.Открыть темуСтепень с целым отрицательным показателемСтепень с отрицательным целым показателем — это дробь, в числителе которой 1, а в знаменателе — та же степень, но с положительным показателем; все свойства степени с натуральным показателем сохраняются.Открыть темуЧисла и вычисленияВ разделе изучаются натуральные, целые, рациональные и действительные числа, а также действия с ними. Рассматриваются свойства арифметических операций, порядок действий, работа с дробями, процентами, степенями и корнями.Открыть темуАрифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степениАрифметические корни, их свойства и операцииОткрыть темуВыделение полного квадратаМетод выделения полного квадрата в выраженияхОткрыть темуКвадрат разностиФормула (a - b)² = a² - 2ab + b² и её применениеОткрыть темуПреобразования выражений, содержащих квадратные корниСовокупность приёмов работы с радикалами: вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня, освобождение от иррациональности в знаменателе, приведение подобных слагаемых и использование формул сокращённого умножения.Открыть темуСвойства степени с целым показателемНабор правил, позволяющих преобразовывать выражения с целыми степенями: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, возведение степени в степень, степени произведения и частного, а также определение нулевой и отрицательной степени.Открыть темуФормулы сокращенного умноженияОсновные формулы сокращённого умножения и их применение для преобразования выражений и разложения многочленов на множителиОткрыть темуАрифметический квадратный кореньОперация, обратная возведению в квадрат, но только для неотрицательных чисел и результатов; основа для решения иррациональных уравнений и упрощения выражений.Открыть темуСтепень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степениСтепени с целым и рациональным показателем, свойства степенейОткрыть темуСтепень числаОпределение степени с натуральным показателем, свойства степениОткрыть тему