Задание 9 ОГЭ по математике 2027 года: все виды уравнений с решениями

Задание 9 ОГЭ по математике направлено на решение уравнений всех видов, которые проходились в школьной программе с 7 по 9 класс, от учеников требуется правильно раскрывать скобки, находить корни линейных, квадратных и рациональных уравнений, а так же правильно отбирать корни

На этой странице собрана подробная теория по всем видам уравнений из банка ФИПИ и тренажёры 9 задания ОГЭ по математике с автоматической проверкой и подробным решением.

Все виды уравнений, встречающиеся в 9 задании ОГЭ по математике

Банк заданий ФИПИ, варианты настоящих экзаменов прошлых лет, и сборники для подготовки к ОГЭ содержат всего 3 вида уравнений.

Линейные уравнения

Уравнения вида

ax+b=0

На экзамене они могут быть с раскрытием скобок, приведением подобных слагаемых или обыкновенными дробями с числовыми знаменателями.

Квадратные уравнения

На экзамене они могут полными:

ax^2+bx+c=0

Решаются через дискриминант или теорему Виета

Дробно рациональные уравнения

Уравнения с переменной в знаменателе вида

\frac{a}{x+b}=c

В пробных вариантах, особенно уровня посложнее можно так же встретить в 9 задании системы линейных уравнений

Подробный разбор способов решения всех видов уравнений

Рассмотрим методику решения каждого вида уравнений с необходимыми формулами:

Линейные и распадающиеся уравнения

• Линейные уравнения: переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки слагаемых при переносе на противоположные. Затем делим обе части на коэффициент перед $x$ ( $ax = b \implies x = \frac{b}{a}$ ).

• Распадающиеся уравнения: если выражение задано в виде произведения скобок $(x - a)(x - b) = 0$ , приравниваем каждую скобку к нулю: $x - a = 0 \implies x_1 = a$ или $x - b = 0 \implies x_2 = b$ .

Квадратные уравнения (полные и неполные)

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ).

Вид квадратного уравнения

Алгоритм решения

Формулы корней

Полное
$ax^2 + bx + c = 0$

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ .
• Если $D > 0$ — $2$ корня;

• Если $D = 0$ — $1$ корень;

• Если $D < 0$ — корней нет.

Если у вас в 9 задании получился отрицательный дискриминант - значит есть ошибка в вычислениях и есть смысл пересчитать ещё раз

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Для приведённых уравнений вида

x^2+px+q=0

Можно использовать теорему Виета:
$x_1 + x_2 = -p, \; x_1 \cdot x_2 = q$

Неполное ( $c = 0$ )
$ax^2 + bx = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:
$x(ax + b) = 0$ .

x_1 = 0, \quad x_2 = -\dfrac{b}{a}

Неполное ( $b = 0$ )
$ax^2 + c = 0$

Переносим $c$ в правую часть и делим на $a$ :

x^2=-\frac{c}{a}

Если $-\frac{c}{a} > 0$ :

x_{1,2} = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}

В таких уравнениях главное - не забыть про плюс-минус

Рациональные уравнения и системы уравнений

• Дробно-рациональные уравнения: если уравнение имеет вид пропорции $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ , то переходим к линейному или квадратному уравнению с помощью основного свойства пропорции $A \cdot D = B \cdot C$ , учитывая, что знаменатели не равны нулю ( $B \neq 0, D \neq 0$ ).

• Системы уравнений: в Задании 9 системы линейных уравнений обычно просят решить относительно $x$ или $y$ . Удобнее всего использовать метод сложения (умножаем уравнения на коэффициенты так, чтобы при сложении одна переменная взаимно уничтожилась) или метод подстановки (выражаем одну переменную через другую).

Правила отбора корней и бланк ОГЭ!

1. Внимательно читайте условие: В квадратных уравнениях часто просят записать больший или меньший корень! Помните, что из отрицательных чисел больше то, которое находится ближе к нулю (например, $-2 > -5$ ).

2. Если просят записать корни без пробелов: В редких прототипах ФИПИ просят выписать корни в порядке возрастания слитно. Если корни $-3$ и $4$ , то запись в бланк: $-34$ .

3. Формат Бланка № 1: Ответ должен быть строго целым числом или конечной десятичной дробью. Каждая цифра, запятая и минус пишутся в отдельной клеточке.

Пошаговый алгоритм решения Задания 9

При выполнении Задания 9 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите класс уравнения: распознайте линейное, неполное квадратное, полное квадратное, распадающееся или рациональное уравнение.

Выполните преобразования: раскройте скобки, приведите подобные, примените формулу дискриминанта или вынесите общий множитель.

Отберите нужный корень: выберите корень по требованию задачи (больший/меньший) и впишите число в бланк ответов.

Разбор всех видов примеров из банка ФИПИ

Рассмотрите решения характерных прототипов 9 задания ОГЭ.

Пример 1: Линейное уравнение с дробями

Задание: Найдите корень уравнения $x + \dfrac{x}{5} = \dfrac{12}{5}$ .

Подробное решение:

1) Домножим обе части уравнения на $5$ , чтобы избавиться от знаменателей:

5 \cdot x + 5 \cdot \dfrac{x}{5} = 5 \cdot \dfrac{12}{5} \implies 5x + x = 12

2) Приведем подобные слагаемые в левой части:

6x = 12

3) Разделим обе части на $6$ :

x = \dfrac{12}{6} = 2

Ответ: $2$ .

Пример 2: Распадающееся уравнение со скобками

Задание: Решите уравнение $(-2x + 1)(-x - 7) = 0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Подробное решение:

1) Приравняем к нулю каждый множитель:

-2x + 1 = 0 \quad \text{или} \quad -x - 7 = 0

2) Найдем первый корень:

-2x = -1 \implies x_1 = \dfrac{-1}{-2} = 0{,}5

3) Найдем второй корень:

-x = 7 \implies x_2 = -7

4) Сравниваем корни $-7$ и $0{,}5$ . Меньшим является корень $-7$ .

Ответ: $-7$ .

Пример 3: Полное квадратное уравнение через дискриминант

Задание: Решите уравнение $x^2 + 7x - 18 = 0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Подробное решение:

1) Определим коэффициенты: $a = 1, b = 7, c = -18$ . Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2

2) Найдем корни уравнения:

x_1 = \dfrac{-7 + 11}{2} = \dfrac{4}{2} = 2

x_2 = \dfrac{-7 - 11}{2} = \dfrac{-18}{2} = -9

3) По условию задачи требуется записать больший из корней. Сравниваем $2$ и $-9$ : $2 > -9$ .

Ответ: $2$ .

Пример 4: Система двух линейных уравнений

Задание: Решите систему уравнений $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases}$ . В ответе запишите значение $x$ .

Подробное решение:

1) Применили метод почленного сложения двух уравнений, так как коэффициенты при $y$ противоположны ( $+2y$ и $-2y$ ):

(3x + 2y) + (2x - 2y) = 8 + 2

2) Приведем подобные слагаемые:

5x = 10 \implies x = \dfrac{10}{5} = 2

3) По условию задачи требуется указать только значение $x$ .

Ответ: $2$ .

Все виды 9 заданий в ОГЭ по математике

Ниже собраны абсолютно все разновидности 9 задания ОГЭ по математике из актуальных прототипов из банка заданий ФИПИ и вариантов прошлых лет в онлайн-тренажёрах на образовательной платформе «Экзамео». Система проверяет ответы в реальном времени и даёт подробные пошаговые пояснения с вычислениями корней и их выборке.

Задача 1

Простейшее рациональное уравнение

Темы4

Самый простой вид рациональных уравнений, решаемых в том числе с использованием пропорцийВариант 1

Найдите корень уравнения $\frac{6x - 10}{-12} = \frac{2x + 10}{12}$

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Простейшие линейные уравнения всех видов

Темы2

Простейшие линейные уравнения различных видов для отработки переброса с подробными решениямиВариант 1

Решите уравнение:

8x - 10 = 2x + 20

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Все виды уравнений, встречающиеся в 9 задании ОГЭ по математике

Подробный разбор способов решения всех видов уравнений

Линейные и распадающиеся уравнения

Квадратные уравнения (полные и неполные)

Рациональные уравнения и системы уравнений

Пошаговый алгоритм решения Задания 9

Разбор всех видов примеров из банка ФИПИ

Все виды 9 заданий в ОГЭ по математике

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании