МатематикаОГЭ по математике

15 задание ОГЭ по математике - полный разбор

Задание 15 ОГЭ по математике - полный разбор теории по треугольникам и тренажеры по всем прототипам из открытого банка ФИПИ с решениями в тренажерах.

Задание 15 ОГЭ по математике открывает блок геометрии в первой части экзамена в 9 классе и приносит 1 первичный балл. Задание проверяет знание свойств треугольников: произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних, умение находить углы, стороны и площади.

На этой странице собраны абсолютно все виды прототипов 15 задания из открытого банка ФИПИ в тренажёрах 15 задания с подробными решениями и проверкой ответов.

Основные свойства и теоремы о треугольниках в 15 задании ОГЭ

Разберемся с основными теоремами и свойствами треугольников, которые используются при решении заданий в ОГЭ. Дополнительно и более углубленно вы можете изучить темы, которые встречаются в этом задании после тренажёров.

Этого будет достаточно для выполнения всех прототипов 15 задания ОГЭ по математике 2027 года.

Углы и замечательные линии в треугольнике

Фундаментальные теоремы планиметрии, на которых строится решение базовых задач 15 линии:

Свойства углов 📐

• Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

• Внешний угол: равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ( $\angle \text{внеш} = \angle A + \angle B$ )

• В равнобедренном треугольнике: углы при основании равны ( $\angle A = \angle C$ )

• В равностороннем треугольнике все углы равны 60°

Замечательные линии ✂️

• Медиана: делит сторону пополам и разбивает треугольник на два равновеликих (равных по площади)

• Биссектриса: делит угол пополам и делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим ( $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b}{c}$ )

• Средняя линия: параллельна основанию и равна его половине ( $q = \frac{a}{2}$ )

Пример задания на внешний угол с равнобедренным треугольником

Задание: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$ . Внешний угол при вершине $C$ равен $124^\circ$ . Найдите величину угла $B$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Внутренний угол $\angle C$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$ :

\angle C = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ

2) Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ ( $AB = BC$ ), углы при основании равны:

\angle A = \angle C = 56^\circ

3) Найдем угол при вершине $B$ , используя теорему о сумме углов треугольника:

\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (56^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ

Ответ: $68$ .

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Прямоугольные треугольники составляют порядка 60% всех 15 заданий в открытом банке ФИПИ, поэтому очень важно вспомнить основные свойства и теоремы связанные с прямоугольным треугольником.

Все формулы ниже рассматриваются для треугольника с картинки ниже:

Правило / Теорема

Математическая формула

Геометрический смысл

Теорема Пифагора

$a^2 + b^2 = c^2$

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ( $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ).

Синус острого угла ( $\sin A$ )

$\sin A = \dfrac{a}{c}$

Отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла ( $\cos A$ )

$\cos A = \dfrac{b}{c}$

Отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла ( $\text{tg}\,A$ )

$\text{tg}\,A = \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin A}{\cos A}$

Отношение противолежащего катета к прилежащему.

Медиана к гипотенузе

$m_c = \dfrac{c}{2} = R$

Медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы (радиусу описанной окружности).

Давайте рассмотрим пример одного прототипа 15 задания на тригонометрию в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Задание: В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , катет $BC = 12$ , а $\cos B = \dfrac{3}{5}$ . Найдите гипотенузу $AB$ .

Подробное решение:

1) По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$ :

\cos B = \dfrac{BC}{AB}

2) Подставим известные числовые данные:

\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{AB}

3) Выразим гипотенузу $AB$ по основному свойству пропорции:

AB = \dfrac{12 \cdot 5}{3} = 4 \cdot 5 = 20

Ответ: $20$ .

Формулы площади, теоремы синусов и косинусов для 15 задания в ОГЭ по математике

Все формулы ниже обязательно будут в справочном материале, которые находятся до самих заданий в варианте КИМ на экзамене. Поэтому вам нужно не столько выучить эти формулы, сколько запомнить что обозначают буквы в формулах и отработать их на тренажёрах, чтобы потом получилось их применить на экзамене.

Формулы площади треугольника 🎯

• Через сторону и высоту: $S = \dfrac{1}{2} a h_a$

• Через две стороны и угол: $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$

• Для прямоугольного треугольника: $S = \dfrac{1}{2} a b$ (половина произведения катетов)

• Для равностороннего треугольника со стороной $a$ : $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \quad h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Пример 15 задания на площадь треугольника через синус угла из банка ФИПИ

Задание: Стороны треугольника равны $10$ и $16$ , а угол между ними равен $30^\circ$ . Найдите площадь треугольника.

Подробное решение:

1) Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = \dfrac{1}{2} a b \sin C

2) Подставим известные значения ( $a = 10, b = 16, \sin 30^\circ = 0{,}5$ ):

S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \sin 30^\circ = 5 \cdot 16 \cdot 0{,}5 = 80 \cdot 0{,}5 = 40

Ответ: $40$ .

Теорема синусов и теорема косинусов - это те теоремы, без знания которых не получится решить определенные виды 15 задания, поэтому их нужно не просто просмотреть, а разобраться про какие стороны идет речь и на каких местах в формулах они стоят и в каких случаях применяются.

Лайфхаки для Задания 15 ОГЭ! 💡

1. Катет напротив угла $30^\circ$ : В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$ , равен ровно половине гипотенузы ( $a = \frac{c}{2}$ ). Это самая частая задача в 15 номере!

2. Равнобедренный треугольник и высота: Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является и биссектрисой, и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

3. Египетский треугольник: Запомните пифагоровы тройки сторон прямоугольных треугольников, чтобы не тратить время на вычисление корней: $(3, 4, 5)$ , $(6, 8, 10)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ .

Все виды 15 задания в ОГЭ по математике

Тренажеры по 15 заданию ОГЭ по математике содержат в себе все прототипы 15 задания из открытого банка ФИПИ и сборников для подготовки к экзамену. Один из вариантов задач может попасться вам на настоящем экзамене в 9 классе. Для каждого задания доступно подробное решение с объяснением каждого действия и проверка ответов.

Задача 1

Медиана, равная половине стороны

Темы2

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на ключевой признак прямоугольного треугольника: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из которого она выходит, прямой.Вариант 1

В треугольнике $PQR$ проведена медиана $QH$ . Найдите градусную меру угла $\angle R$ , если $\angle P = 37^\circ$ и $QH = PH = HR$ .

Ваш ответ

Задача 2

Тригонометрические функции острого угла

Темы3

15 задание ОГЭ по математике из открытого банка заданий без рисунка. Решение расписали двумя способами - через прямоугольный треугольник и теорему Пифагора и через основное тригонометрическое тождество.Вариант 1

Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{3}{5}$ . Найдите $\cos A$ .

Ваш ответ

Медиана треугольникаКороткая теория и структура темы для повторения.

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведенияОсновные тригонометрические тождестваОткрыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСвойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Площадь треугольникаМера внутренней области треугольника, для нахождения которой существует несколько способов — от классической формулы "половина основания на высоту" до формулы Герона и тригонометрических соотношений.Открыть тему Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачиОткрыть тему Теорема синусовСоотношение сторон и синусов противолежащих угловОткрыть тему Теорема косинусовСоотношение сторон и косинуса углаОткрыть тему Арифметический квадратный кореньОперация, обратная возведению в квадрат, но только для неотрицательных чисел и результатов; основа для решения иррациональных уравнений и упрощения выражений.Открыть тему Равнобедренный треугольникОпределение (боковые стороны и основание), свойства углов при основании, свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию (совпадение), признаки равнобедренного треугольника.Открыть тему

Основные свойства и теоремы о треугольниках в 15 задании ОГЭ

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Формулы площади, теоремы синусов и косинусов для 15 задания в ОГЭ по математике

Все виды 15 задания в ОГЭ по математике

Темы, которые встречаются в этом задании