Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники, формулы и разбор всех прототипов

Задание 15 ОГЭ по математике открывает геометрический блок первой части экзаменационного КИМа (модуль «Геометрия») и приносит 1 первичный балл. Чтобы преодолеть минимальный порог на ОГЭ, каждому выпускнику необходимо набрать минимум 2 балла по геометрии, поэтому уверенное решение 15 линии гарантирует успешную сдачу экзамена. Задание проверяет знание свойств произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних треугольников, умение находить углы, стороны и площади фигур.

На этой странице систематизированы абсолютно все виды прототипов 15 задания из открытого банка ФИПИ: свойства углов и внешнего угла треугольника, теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса, теоремы синусов и косинусов, свойства замечательных линий (биссектрис, медиан, высот и средних линий), а также все необходимые формулы площадей с разборами реальных задач.

Отработать каждый тип задач пятнадцатой линии помогут интерактивные тренажёры Задания 15 ОГЭ по математике с автоматической проверкой и подробными решениями.

1. Углы и замечательные линии в треугольнике

Фундаментальные теоремы планиметрии, на которых строится решение базовых задач 15 линии:

Свойства углов 📐

• Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

• Внешний угол: равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ( $\angle \text{внеш} = \angle A + \angle B$ )

• В равнобедренном треугольнике: углы при основании равны ( $\angle A = \angle C$ )

Замечательные линии ✂️

• Медиана: делит сторону пополам и разбивает треугольник на два равновеликих (равных по площади)

• Биссектриса: делит угол пополам и делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим ( $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b}{c}$ )

• Средняя линия: параллельна основанию и равна его половине ( $q = \frac{a}{2}$ )

2. Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Прямоугольные треугольники составляют до $50\%$ всех заданий 15 номера в ОГЭ:

Правило / Теорема

Математическая формула

Геометрический смысл

Теорема Пифагора

$a^2 + b^2 = c^2$

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ( $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ).

Синус острого угла ( $\sin A$ )

$\sin A = \dfrac{a}{c}$

Отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла ( $\cos A$ )

$\cos A = \dfrac{b}{c}$

Отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла ( $\text{tg}\,A$ )

$\text{tg}\,A = \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin A}{\cos A}$

Отношение противолежащего катета к прилежащему.

Медиана к гипотенузе

$m_c = \dfrac{c}{2} = R$

Медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы (радиусу описанной окружности).

3. Формулы площади, теоремы синусов и косинусов

Формулы площади треугольника 🎯

• Через сторону и высоту: $S = \dfrac{1}{2} a h_a$

• Через две стороны и угол: $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$

• Для прямоугольного треугольника: $S = \dfrac{1}{2} a b$ (половина произведения катетов)

• Для равностороннего треугольника со стороной $a$ : $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \quad h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Теорема синусов 🔵

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$
Используется, когда известны сторона, противолежащий угол или радиус $R$ описанной окружности.

Теорема косинусов 🔴

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
Используется для нахождения третьей стороны по двум известным сторонам и углу между ними.

Лайфхаки для Задания 15 ОГЭ! 💡

1. Катет напротив угла $30^\circ$ : В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$ , равен ровно половине гипотенузы ( $a = \frac{c}{2}$ ). Это самая частая задача в 15 номере!

2. Равнобедренный треугольник и высота: Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является и биссектрисой, и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

3. Египетский треугольник: Запомните пифагоровы тройки сторон прямоугольных треугольников, чтобы не тратить время на вычисление корней: $(3, 4, 5)$ , $(6, 8, 10)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ .

Пошаговый алгоритм решения Задания 15

При выполнении Задания 15 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний или произвольный. Отметьте известные величины прямо на чертеже КИМ.

Выберите подходящую теорему или формулу: теорему Пифагора, определение тригонометрической функции, теорему синусов/косинусов или формулу площади.

Вычислите ответ и внесите в бланк № 1: переведите обыкновенную дробь в десятичную форму и запишите число в бланк.

Разбор всех прототипов Задания 15 из банка ФИПИ

Рассмотрите подробные решения характерных геометрических прототипов 15 задания ОГЭ.

Пример 1: Внешний угол и равнобедренный треугольник

Задание: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$ . Внешний угол при вершине $C$ равен $124^\circ$ . Найдите величину угла $B$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Внутренний угол $\angle C$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$ :

\angle C = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ

2) Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ ( $AB = BC$ ), углы при основании равны:

\angle A = \angle C = 56^\circ

3) Найдем угол при вершине $B$ , используя теорему о сумме углов треугольника:

\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (56^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ

Ответ: $68$ .

Пример 2: Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Задание: В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , катет $BC = 12$ , а $\cos B = \dfrac{3}{5}$ . Найдите гипотенузу $AB$ .

Подробное решение:

1) По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$ :

\cos B = \dfrac{BC}{AB}

2) Подставим известные числовые данные:

\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{AB}

3) Выразим гипотенузу $AB$ по основному свойству пропорции:

AB = \dfrac{12 \cdot 5}{3} = 4 \cdot 5 = 20

Ответ: $20$ .

Пример 3: Площадь треугольника через синус угла

Задание: Стороны треугольника равны $10$ и $16$ , а угол между ними равен $30^\circ$ . Найдите площадь треугольника.

Подробное решение:

1) Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = \dfrac{1}{2} a b \sin C

2) Подставим известные значения ( $a = 10, b = 16, \sin 30^\circ = 0{,}5$ ):

S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \sin 30^\circ = 5 \cdot 16 \cdot 0{,}5 = 80 \cdot 0{,}5 = 40

Ответ: $40$ .

Тренажёры по Заданию 15 ОГЭ на Экзамео

Гарантированно набрать геометрические баллы и научиться безошибочно решать Задание 15 ОГЭ по математике помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В нашей базе собраны сотни актуальных прототипов задач ФИПИ на все виды треугольников, теорему Пифагора, тригонометрию, медианы, биссектрисы и площади.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому номеру с красочными геометрическими чертежами. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, доводите навыки геометрии до совершенства и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Задача 1

Тригонометрические функции острого угла

Темы2

15 задание ОГЭ по математике из открытого банка заданий без рисунка. Решение расписали двумя способами - через прямоугольный треугольник и теорему Пифагора и через основное тригонометрическое тождество.Вариант 1

Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{3}{5}$ . Найдите $\cos A$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

1. Углы и замечательные линии в треугольнике

2. Прямоугольный треугольник и тригонометрия

3. Формулы площади, теоремы синусов и косинусов

Пошаговый алгоритм решения Задания 15

Разбор всех прототипов Задания 15 из банка ФИПИ

Тренажёры по Заданию 15 ОГЭ на Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании