МатематикаЕГЭ по математике - базовый уровень

10 задание ЕГЭ математика База - теория и тренажер

Полный справочник по заданию 10 базового ЕГЭ по математике: теорема Пифагора, периметры заборов, площади участков, углы колеса со спицами и тренажёр Экзамео.

На этой странице представлен исчерпывающий разбор задания 10 из ЕГЭ по базовой математике, чтобы выпускники освоили все методы решения практических геометрических задач из реальной жизни и закрепили навык в интерактивном онлайн-тренажёре по прототипам ФИПИ.

В структуре базового экзамена 10 задание ЕГЭ по математике посвящено прикладной планиметрии и приносит 1 первичный балл. В отличие от чистой абстрактной геометрии, здесь формулы связываются с бытовыми ситуациями: расчётом длины забора вокруг дачного участка, определением ширины экрана телевизора по диагонали, нахождением угла между спицами колеса или вычислением высоты опоры лестницы. Для решения достаточно знать базовые свойства прямоугольников, теорему Пифагора, понятие средней линии трапеции и формулы углов окружности.

Формат и специфика: задание 10 базового ЕГЭ по математике

• Суть номера: текстовая геометрическая задача с практическим содержанием, к которой почти всегда приведён наглядный чертёж или схема с реальными размерами.

• Форма ответа: ответом всегда служит целое число или конечная десятичная дробь, записанная без указания единиц измерения (метры, градусы или сантиметры в бланк писать нельзя).

• Внимательность к условию: в задачах про забор часто одна из сторон участка не огораживается (идёт вдоль реки или дома), а в задачах про пруд внутри участка вычитается лишь половина площади круга.

Все типы 10 задания ЕГЭ по математике (База)

Все прототипы задания 10 из открытого банка ФИПИ можно разделить на пять основных прикладных категорий:

Тип 1

Экраны и теорема Пифагора

Экраны телевизоров, планшетов, проекции проводов или лестницы, приставленные к стене. Сводятся к прямоугольному треугольнику: $a^2 + b^2 = c^2$ .

Тип 2

Периметры и заборы

Ограждение дачных участков сложной формы или прямоугольников, примыкающих к реке, озеру или стене дома. Сложение трёх или более сторон.

Тип 3

Колёса со спицами и часы

Центральные углы и деление полного круга $360^\circ$ на равные секторы числом спиц колеса либо движение стрелок механических часов.

Тип 4

Площади участков и водоёмов

Нахождение оставшейся полезной площади сада за вычетом дорожек, домов или круглых прудов, расположенных на границе участков.

Тип 5

Столбы, лестницы и трапеции

Вертикальные столбы, поддерживающие перила посередине, фонари и тени. Рассматриваются как средняя линия прямоугольной трапеции: $l = \frac{h_1 + h_2}{2}$ .

Теоретическая база к заданию 10

Вся необходимая теория сгруппирована по отдельным геометрическим темам. Раскройте нужный блок для повторения формул и свойств:

1. Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad a = \sqrt{c^2 - b^2}

• Прямоугольник: диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Диагональ $d$ , высота $h$ и ширина $w$ связаны формулой: $d^2 = h^2 + w^2$ .

• Пифагоровы тройки: полезно помнить пропорции сторон $(3; 4; 5)$ , $(5; 12; 13)$ , $(8; 15; 17)$ , $(7; 24; 25)$ . Например, треугольник со сторонами $42$ и $70$ кратен тройке $(3; 4; 5)$ , так как $42 = 14 \cdot 3$ , а $70 = 14 \cdot 5$ . Неизвестный катет сразу равен $14 \cdot 4 = 56$ .

2. Периметры и площади многоугольников

• Периметр прямоугольника: сумма всех сторон $P = 2(a + b) = 2a + 2b$ . Если забор строится только с трёх сторон (без одной стороны $a$ ), длина забора равна $L = a + 2b$ или $L = 2a + b$ .

• Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b$ .

• Площадь составной фигуры: если внутри участка находится пруд или постройка, оставшаяся площадь равна разности площадей: $S_{\text{ост}} = S_{\text{общ}} - S_{\text{вырез}}$ .

3. Окружность, углы и круговые секторы

• Полный угол: градусная мера всей окружности равна $360^\circ$ .

• Спицы в колесе: если $n$ спиц делят колесо на равные части, они образуют ровно $n$ равных центральных углов. Угол между соседними спицами вычисляется по формуле: $\alpha = \dfrac{360^\circ}{n}$ .

• Площадь круга: $S = \pi R^2$ . Если прямая линия границы участков проходит через центр круглого пруда, она делит круг ровно пополам: площадь полукруга равна $S_{\text{полукруга}} = \dfrac{S_{\text{пруда}}}{2}$ .

4. Трапеция и средняя линия (опоры и лестницы)

• Прямоугольная трапеция: вертикальные опоры и вертикальный столб образуют фигуру с параллельными основаниями, перпендикулярными горизонтальному полу.

• Свойство средней линии: если столб установлен ровно посередине между двумя параллельными опорами, его длина $l$ является средней линией трапеции и равна среднему арифметическому длин крайних оснований:

l = \dfrac{h_1 + h_2}{2}

Разбор прототипов из банка ФИПИ

Ниже приведены подробные решения пяти официальных задач открытого банка ЕГЭ:

Прототип 1: Экран телевизора (Теорема Пифагора)

Задание: Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна $70\text{ см}$ , а высота экрана $42\text{ см}$ . Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

Пошаговый разбор:

1) Экран телевизора представляет собой прямоугольник, у которого диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота и ширина — катетами.

2) По теореме Пифагора:

d^2 = h^2 + w^2 \implies w = \sqrt{d^2 - h^2}

3) Подставим числовые значения ( $d = 70$ , $h = 42$ ):

w = \sqrt{70^2 - 42^2}

4) Удобно применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ :

w = \sqrt{(70 - 42)(70 + 42)} = \sqrt{28 \cdot 112}

w = \sqrt{28 \cdot (4 \cdot 28)} = \sqrt{28^2 \cdot 4} = 28 \cdot 2 = 56

Ответ: 56.

Прототип 2: Забор дачного участка вдоль реки

Задание: Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны $40\text{ м}$ и $30\text{ м}$ . Одна из бóльших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно обнести забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.

Пошаговый разбор:

1) Прямоугольник имеет две бóльшие стороны по $40\text{ м}$ и две меньшие стороны по $30\text{ м}$ .

2) По условию одна из бóльших сторон ( $40\text{ м}$ ) граничит с рекой и не требует забора.

3) Забор необходимо установить по трём оставшимся сторонам: второй бóльшей стороне ( $40\text{ м}$ ) и двум меньшим сторонам по бокам ( $30\text{ м}$ и $30\text{ м}$ ):

L = 40 + 30 + 30 = 100\text{ м}

Ответ: 100.

Прототип 3: Угол между спицами колеса

Задание: Колесо имеет 6 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Пошаговый разбор:

1) Спицы выходят из одного центра и делят полный оборот колеса на равные центральные секторы.

2) Шесть спиц разбивают полный угол в $360^\circ$ ровно на 6 одинаковых углов:

\alpha = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ

Ответ: 60.

Прототип 4: Участки садоводов с общим прудом

Задание: Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами $20\text{ м}$ на $30\text{ м}$ с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью $140\text{ м}^2$ , причём граница участков проходит точно через центр пруда. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода?

Пошаговый разбор:

1) Найдём полную начальную площадь прямоугольного участка одного садовода:

S_{\text{участка}} = 20 \cdot 30 = 600\text{ м}^2

2) Граница участков проходит строго через центр круглого пруда, следовательно, на территории каждого садовода находится ровно половина пруда:

S_{\text{полупруда}} = \dfrac{140}{2} = 70\text{ м}^2

3) Вычтем площадь полупруда из общей площади участка:

S_{\text{ост}} = 600 - 70 = 530\text{ м}^2

Ответ: 530.

Прототип 5: Вертикальный опорный столб лестницы

Задание: Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна $1{,}05\text{ м}$ , а наибольшая высота $h_2$ равна $2{,}05\text{ м}$ . Ответ дайте в метрах.

Пошаговый разбор:

1) Вертикальные опоры параллельны друг другу и перпендикулярны горизонтальной плоскости пола, образуя прямоугольную трапецию с основаниями $h_1$ и $h_2$ .

2) Столб укреплён ровно посередине лестницы, то есть является средней линией трапеции.

3) Длина средней линии равна среднему арифметическому оснований:

l = \dfrac{h_1 + h_2}{2}

4) Подставим заданные значения ( $h_1 = 1{,}05$ , $h_2 = 2{,}05$ ):

l = \dfrac{1{,}05 + 2{,}05}{2} = \dfrac{3{,}1}{2} = 1{,}55\text{ м}

Ответ: 1,55.

Пошаговый алгоритм решения 10 задания

Чтобы не допустить случайных ошибок при решении геометрических задач практического содержания в базовом ЕГЭ по математике, действуйте по четкому плану:

Перенесите данные на рисунок: подпишите все известные размеры прямо на схеме (стороны участка, высоты перил, количество спиц или диагональ экрана).

Определите геометрическую модель: сведите бытовую ситуацию к стандартной фигуре — прямоугольному треугольнику, трапеции, круговому сектору или прямоугольнику.

Учтите ограничения условия: проверьте, сколько именно сторон огораживается забором (три или четыре) и какая доля фигуры отсекается (например, половина общего пруда).

Запишите ответ в требуемых единицах: убедитесь, что ответ выражен именно в тех единицах, которые указаны в конце задания (в метрах или сантиметрах), без добавления буквенных сокращений.

Самые частые ошибки в 10 задании

При анализе бланков базового ЕГЭ чаще всего встречаются три характерные ошибки:

Вычитание полного круга вместо половины

В задаче о двух участках с круглым прудом на границе школьники вычитают из площади участка все $140\text{ м}^2$ , забывая, что каждому садоводу принадлежит лишь ровно половина водоёма ( $70\text{ м}^2$ ).

Огораживание всех четырёх сторон

Автоматический расчёт полного периметра $2 \cdot (40 + 30) = 140\text{ м}$ вместо трёх сторон ( $40 + 30 + 30 = 100\text{ м}$ ). Внимательно читайте, вдоль какого препятствия забор ставить не нужно!

Сложение катета с гипотенузой

В задачах на экран телевизора диагональ ( $70\text{ см}$ ) является гипотенузой, а не вторым катетом. Чтобы найти ширину, нужно извлекать корень из разности квадратов ( $\sqrt{70^2 - 42^2}$ ), а не складывать их!

Тренажёр по 10 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Чтобы закрепить навыки решения прикладных планиметрических задач, переходите к онлайн-тренажёру платформы Экзамео. В базу включены все официальные прототипы задания 10 базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Тренируйтесь регулярно, проверяйте свои ответы с мгновенной автопроверкой и уверенно забирайте максимальный балл на экзамене!

Задача 1

Неполный периметр прямоугольного участка

Темы2

Практико-ориентированная геометрическая задача на нахождение периметра трёх сторон прямоугольника.Вариант 1

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 300 м. Одна из меньших сторон участка идёт по береговой линии озера, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.

Ваш ответ

Задача 2

Площадь на плане

Темы2

Задача на нахождение площади коридора (или прихожей) по прямоугольному поэтажному плану квартиры, состоящей из 4 помещений.Вариант 1

Квартира состоит из гостиной, кухня, прихожая и санузел (см. чертёж). Кухня имеет размеры 3,5 м $\times$ 3,5 м, санузел — 2,5 м $\times$ 1,5 м, длина гостиной 3,5 м. Найдите площадь прихожая (в квадратных метрах).

Ваш ответ

Второй признак подобия треугольниковЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.Открыть тему ПрямоугольникОпределение и свойства прямоугольника: прямые углы, равные диагонали, формулы периметра и площади.Открыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСвойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Площадь треугольникаМера внутренней области треугольника, для нахождения которой существует несколько способов — от классической формулы "половина основания на высоту" до формулы Герона и тригонометрических соотношений.Открыть тему Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачиОткрыть тему Площадь кругаФормула площади кругаОткрыть тему Площади и периметры фигур планиметрииРаздел посвящён вычислению площадей и периметров основных плоских фигур: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба и круга. Рассматриваются свойства фигур, формулы для нахождения этих величин, а также их применение при решении практических задач. Тренируются выбирать нужную формулу и преобразовывать данные.Открыть тему

Все типы 10 задания ЕГЭ по математике (База)

Теоретическая база к заданию 10

Разбор прототипов из банка ФИПИ

Пошаговый алгоритм решения 10 задания

Самые частые ошибки в 10 задании

Тренажёр по 10 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании