МатематикаЕГЭ по математике - базовый уровень

Задание 9 ЕГЭ по базовой математике

9 задание базового ЕГЭ по математике - полный разбор всех видов из открытого банка ФИПИ, основные методы решения, формулы и тренажёры с проверкой на Экзамео.

9 задание ЕГЭ по математике базового уровня входит в практический геометрический блок первой части экзамена и приносит 1 первичный балл. В этом номере предлагается геометрический чертёж, выполненный на клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1\text{ см}$ . Основные проверяемые умения: нахождение площадей плоских фигур, расчёт длин отрезков, а также вычисление углов и значений тригонометрических функций. На этой странице разбираем все способы решения задач, в том числе безотказный универсальный приём — метод описанного прямоугольника.

Отработать решение геометрических задач на координатной сетке помогут интерактивные тренажёры задания 9 базового ЕГЭ на платформе Экзамео с моментальной проверкой ответов.

Все виды задач на клетчатой бумаге в 9 задании ЕГЭ база

Все прототипы девятой линии открытого банка ФИПИ делятся на 4 ключевых направления:

1. Нахождение площадей фигур 📐

Треугольники всех видов, параллелограммы, ромбы, прямоугольные и равнобедренные трапеции, а также произвольные четырёхугольники. Решаются либо по стандартным геометрическим формулам через подсчёт клеток, либо методом разрезания и достраивания.

2. Длины линий и отрезков 📏

Вычисление средней линии треугольника или трапеции, высоты, медианы или расстояния от точки до прямой. Если отрезок лежит под наклоном к сетке, его длину находят по теореме Пифагора из вспомогательного прямоугольного треугольника.

3. Тригонометрия углов 📐

Поиск $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ или $\operatorname{tg}\alpha$ угла, изображённого на клетках. Обязательный приём: опустить перпендикуляр из узла сетки на луч угла, образовав прямоугольный треугольник, катеты которого точно считаются по клеткам.

4. Круги, секторы и кольца ⭕

Нахождение площади закрашенного сектора круга, сегмента или кольца. Радиус круга определяется подсчётом клеток от центра до узла окружности, а угол сектора оценивается через доли полного круга ( $360^\circ$ ).

Универсальный метод решения 9 задания

Если стороны фигуры идут под углом к линиям сетки и посчитать основание или высоту напрямую невозможно, применяется метод описанного прямоугольника. Это самый надёжный способ, исключающий любые ошибки с формулами.

Суть метода прямоугольника: 🎯

Исходную фигуру заключают в прямоугольник минимального размера, стороны которого идут строго по линиям сетки через крайние вершины многоугольника. Искомая площадь равна площади этого прямоугольника минус площади всех лишних внешних фигур (прямоугольных треугольников и маленьких прямоугольников):

S_{\text{фигуры}} = S_{\text{прямоугольника}} - \sum S_{\text{лишних деталей}}

Как применять метод прямоугольника

Предположим, что необходимо найти площадь шестиугольника на рисунке снизу:

Геометрия на клетках метод прямоугольника

Самый простой способ найти площадь - провести рядом с фигурой прямоугольник и сделать шестиугольник вписанным в него.

Геометрия на клетках метод прямоугольника c решением

Тогда общая площадь будет считаться по простейшей формуле, а площади треугольников рассчитать можно через формулу для прямоугольных треугольников, а затем просто их вычесть.

Пошаговый алгоритм нахождения площади методом прямоугольника:

Опишите прямоугольник по линиям сетки: проведите горизонтальные и вертикальные прямые через самую верхнюю, нижнюю, левую и правую вершины фигуры. Получится внешний прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ .

Вычислите площадь внешнего прямоугольника:
$S_{\text{прям}} = a \cdot b$
где $a$ и $b$ — количество клеток по горизонтали и вертикали.

Найдите площади внешних «лишних» треугольников:
Все лишние угловые фигуры являются прямоугольными треугольниками. Площадь каждого из них равна половине произведения катетов (клеток): $S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

Вычтите лишние площади: из общей площади прямоугольника вычтите сумму площадей всех внешних треугольников. Полученное число и есть точная площадь искомой фигуры.

Стандартные формулы площадей фигур на клетках

Если хотя бы одна сторона фигуры идёт строго по горизонтальной или вертикальной линии сетки, площадь удобнее и быстрее находить по прямой формуле:

Фигура

Формула на клетках

Как считать клетки

Треугольник

S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a

$a$ — основание (на линии сетки), $h_a$ — высота, опущенная из третьей вершины перпендикулярно основанию.

Параллелограмм

S = a \cdot h_a

$a$ — горизонтальная или вертикальная сторона, $h_a$ — расстояние между параллельными сторонами.

Трапеция

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h

$a$ и $b$ — параллельные основания (считаем по клеткам), $h$ — высота между основаниями.

Ромб

S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2

$d_1, d_2$ — диагонали ромба (в большинстве задач идут строго вдоль линий сетки).

Поиск тригонометрии угла на клетках: 💡

Чтобы найти тангенс угла $\angle AOB$ , вершина $O$ которого лежит в узле сетки:

1. Выберите на луче $OB$ точку, попадающую строго в перекрестие (узел) клеток.

2. Опустите из неё перпендикуляр на луч $OA$ (по линии сетки).

3. Тангенс равен отношению противолежащего катета (клеток) к прилежащему катету:

\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{вертикальный катет}}{\text{горизонтальный катет}}

9 задание на тригонометрию - разбор решения

Задание: Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Задание с тангенсом угла на клетчатой бумаге

Пошаговое решение:

Задание с тангенсом угла на клетчатой бумаге с решением

Опускаем точки конца наклонной перпендикуляр на другой луч.

Образовался прямоугольный треугольник - это самое главное, что вы тут должны сделать:

• Противолежащий катет (вертикальный): равен $3$ клеткам.

• Прилежащий катет (горизонтальный): равен $2$ клеткам.

4) По определению тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\operatorname{tg}\alpha=\dfrac32=1{,}5

Тренажёры 9 задания базового ЕГЭ по математике

Ниже собраны все возможные варианты 9 заданий в базовом ЕГЭ по математике, составленные по прототипам из открытого банка ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Для каждого задания вы найдете подробное понятное решение, которое поможет подготовиться к экзамену и автоматическую проверку ответов,

Задача 1

Длина вертикального отрезка в треугольнике через подобие

Темы5

Вариант 1

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Площадь ромба на клетчатой бумаге

Темы2

Геометрическая задача на клетчатой бумаге размером 1x1 на нахождение площади ромба.Вариант 1

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Второй признак подобия треугольниковЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.Открыть тему

Ромб и квадратРомб — четырёхугольник с равными сторонами; квадрат — ромб с прямыми углами и равными диагоналями. Обе фигуры широко используются в задачах на площадь, периметр и свойства диагоналей.

Свойства арифметического квадратного корняСистема правил, определяющих, как можно преобразовывать выражения под знаком корня и вне его; знание этих свойств необходимо для решения уравнений, неравенств и упрощения иррациональных выражений в заданиях ЕГЭ.Открыть тему Средняя линия треугольникаКлючевой элемент треугольника, обладающий двумя важнейшими свойствами: параллельность третьей стороне и равенство её половине; средняя линия отсекает от треугольника меньший подобный треугольник с коэффициентом подобия 1:2Открыть тему Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.Открыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.