МатематикаОГЭ по математике

Задание 18 ОГЭ по математике - задачи на клетчатой бумаге

18 задание ОГЭ по математике - разбор всех видов заданий на клетчатой бумаге из открытого банка ФИПИ с подробным решением и объяснением в тренажёрах на Экзамео.

18 задание ОГЭ по математике входит в базовый блок первой части (модуль «Геометрия») и дает 1 первичный балл. Оно проверяет умение наглядно вычислять геометрические величины на клетчатой бумаге (сетке): площади произвольных и правильных фигур, длины высот, медиан и средних линий, а также тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) углов и расстояния от точек до прямых.

18 задание это самое простое задание ОГЭ из всей геометрии - это ваш гарантированный балл, если вы выучите теорию и разберете все тренажеры на странице. Для каждого задания вы найдете подробные решения и объяснения с графическими иллюстрациями.

Все типы 18 задания ОГЭ из открытого банка ФИПИ

В экзаменационных вариантах ОГЭ встречаются 4 ключевых типа восемнадцатого задания:

1. Площади фигур на сетке 📐

Нахождение площади треугольников, параллелограммов, ромбов, трапеций и сложных многоугольников прямо по узлам сетки.

2. Длины отрезков и элементов 📏

Нахождение длин средних линий трапеций и треугольников, высот, диагоналей и расстояний от точки до прямой.

3. Тангенс, синус и косинус угла 📐

Вычисление тригонометрических функций углов, изображённых на клетчатой бумаге, через достраивание до прямоугольного треугольника.

4. Расстояние между точками 📍

Вычисление длины отрезков с помощью теоремы Пифагора по достроенному прямоугольному треугольнику на сетке.

Способы вычисления площади на клетчатой бумаге

Самые частые прототипы восемнадцатого задания - задания на нахождение площадей фигур на клетчатой бумаге. Они часто вызывают проблемы, но существует три универсальных способа нахождения площади абсолютно любой фигуры:

Метод решения

Суть и формула

Когда применять

1. Прямые геом. формулы

Использование базовых формул:
• $S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} a h$
• $S_{\text{паралл}} = a h$
• $S_{\text{трап}} = \frac{a + b}{2} h$
• $S_{\text{ромб}} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Когда сторона и проведённая к ней высота параллельны линиям сетки и легко считаются по клеткам.

2. Метод «Описанного прямоугольника» (разбиения)

Описываем вокруг фигуры прямоугольник со сторонами по линиям сетки и вычитаем из его площади лишние внешние прямоугольные треугольники.

Для «косых» фигур, у которых ни одна сторона не идет строго по линиям сетки.

3. Формула Пика

S = \text{В} + \dfrac{\text{Г}}{2} - 1

• $\text{В}$ — количество узлов сетки строго внутри фигуры;
• $\text{Г}$ — количество узлов сетки на границе фигуры.

Универсальный чит-код для любых невыпуклых и сложных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

Секретные лайфхаки Задания 18 ОГЭ! 💡

1. Как быстро найти тангенс угла:

Чтобы найти $\text{tg}\,\alpha$ , опустите из любой «удобной» точки на луче угла перпендикуляр на второй луч, получив прямоугольный треугольник. Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему ( $\text{tg}\,\alpha = \frac{a}{b}$ ). Посчитайте клетки катетов и разделите их!

2. Средняя линия трапеции:

Запомните, что средняя линия равна полусумме оснований ( $m = \frac{a + b}{2}$ ). Посчитайте верхнее основание по клеткам ( $a$ ), нижнее ( $b$ ), сложите и разделите на 2. Не нужно проводить её на рисунке и мерить линейкой!

3. Проверяйте размер клетки:

Всегда читайте условие! В $99\%$ задач размер клетки $1 \times 1$ , но если написано «размер клетки $2 \times 2$ », площадь одной клетки равна $4$ , и итоговый результат нужно умножить на $4$ !

Разбор всех прототипов задания 18 из банка ФИПИ

Разберем решения самых сложных заданий с клетчатой бумагой на ОГЭ по математике.

Пример 1: Вычисление площади трапеции на клетчатой бумаге

Задание: На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

Подробное решение:

1) Посчитаем верхнее и нижнее основания трапеции по клеткам:
• Верхнее основание $a = 2$ клетки.
• Нижнее основание $b = 8$ клеток.

2) Посчитаем высоту трапеции (расстояние между параллельными основаниями):
• Высота $h = 4$ клетки.

3) Воспользуемся формулой площади трапеции:

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{2 + 8}{2} \cdot 4 = \dfrac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20

Ответ: $20$ .

Пример 2: Нахождение тангенса острого угла на сетке

Задание: На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён угол. Найдите $\text{tg}\,\alpha$ .

Подробное решение:

1) Выберем на луче угла четкую точку, проходящую через узел сетки.

2) Опустим из этой точки перпендикуляр на второй луч угла, сформировав прямоугольный треугольник.

3) Посчитаем длины полученных катетов по клеткам:
• Противолежащий катет $a = 3$ клетки.
• Прилежащий катет $b = 4$ клетки.

4) По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75

Ответ: $0{,}75$ .

Пример 3: Нахождение площади произвольного четырёхугольника по формуле Пика

Задание: На клетчатой бумаге $1 \times 1$ изображён четырёхугольник, ни одна сторона которого не параллельна линиям сетки. Найдите его площадь.

Подробное решение:

1) Посчитаем число узлов сетки строго внутри фигуры: $\text{В} = 7$ .

2) Посчитаем число узлов сетки на границе (включая вершины): $\text{Г} = 6$ .

3) Применим формулу Пика $S = \text{В} + \dfrac{\text{Г}}{2} - 1$ :

S = 7 + \dfrac{6}{2} - 1 = 7 + 3 - 1 = 9

Ответ: $9$ .

Тренажёры 18 заданию ОГЭ по математике на Экзамео

Ниже собраны абсолютно все прототипы 18 задания ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с интерактивными решениями и проверкой ответов. Тренажёры помогут натренироваться в решении этих заданий и гарантированно получить 1 балл по геометрии. Каждый тренажер содержит большое количество вариантов, которые будут доступны после регистрации.

Задача 1

Длина вертикального отрезка в треугольнике через подобие

Темы5

Вариант 1

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

Ваш ответ

Задача 2

Расстояние от точки до наклонного отрезка

Темы6

Геометрическая задача на клетчатой бумаге размером 1x1 на нахождение расстояния от точки O до наклонного отрезка AB. Основание перпендикуляра H лежит строго на отрезке AB.Вариант 1

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ отмечены три точки: $A$ , $B$ и $O$ . Найдите расстояние от точки $O$ до отрезка $AB$ .

Ваш ответ

Второй признак подобия треугольниковЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.Открыть тему Свойства арифметического квадратного корняСистема правил, определяющих, как можно преобразовывать выражения под знаком корня и вне его; знание этих свойств необходимо для решения уравнений, неравенств и упрощения иррациональных выражений в заданиях ЕГЭ.Открыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.

Все типы 18 задания ОГЭ из открытого банка ФИПИ

Способы вычисления площади на клетчатой бумаге

Разбор всех прототипов задания 18 из банка ФИПИ

Тренажёры 18 заданию ОГЭ по математике на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании