11 задание ЕГЭ математика База: практическая стереометрия

На этой странице представлен исчерпывающий разбор по теме задание 11 база ЕГЭ по математике, где подробно разобраны все типы 11 задания ЕГЭ математика база из официального банка ФИПИ, раскрыты секреты решения задач на переливание жидкостей, подобие тел и подсчёт элементов многогранников, а также доступен интерактивный онлайн-тренажёр с автопроверкой ответов.

В кодификаторе экзамена 11 задание ЕГЭ математика база представляет блок практической стереометрии и приносит 1 первичный балл. Для выпускников, которые изучают задания ЕГЭ база 11 класс и готовятся к ЕГЭ математика база 11 задание 2026 года, важно понимать: этот номер не требует громоздких пространственных чертежей или сложных тригонометрических выкладок. Вся практическая стереометрия здесь построена на наглядных бытовых моделях: сосудах, кружках, переливании жидкостей, погружении деталей и отпиливании уголков у многогранников. Главное — чётко понимать, как меняется объём при изменении высоты и линейных размеров основания.

Формат и специфика: 11 задание ЕГЭ математика база

• Ключевая суть: вычисление объёмов тел, определение уровня жидкости при переливании в более широкий или узкий сосуд, нахождение объёма погружённой детали по закону Архимеда, отношение объёмов подобных тел и подсчёт числа рёбер или граней усечённых фигур.

• Квадратичная зависимость площади: площадь основания призмы или цилиндра зависит от стороны или радиуса квадратично ( $S = a^2$ или $S = \pi r^2$ ). Если сосуд в 2 раза шире, площадь его дна больше в $2^2 = 4$ раза, а значит, уровень жидкости упадёт ровно в 4 раза.

• Кубическая зависимость объёма: если объёмное тело масштабируется целиком во всех измерениях (как уровень жидкости в конусе), объёмы подобных фигур соотносятся как куб коэффициента подобия: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$ .

Все типы 11 задания ЕГЭ математика база

Анализируя банк заданий ФИПИ и варианты Решу ЕГЭ база 11 задание, можно выделить пять основных прототипов, на которых строится тип 11 задание ЕГЭ база:

Тип 1

Переливание жидкостей

Воду переливают в сосуд, сторона основания или радиус которого шире в $k$ раз. Уровень столба жидкости уменьшается в $k^2$ раз.

Тип 2

Отношение объёмов коробок и кружек

Сравнение двух призм или цилиндров, где одновременно меняются и высота, и ширина основания. Расчёт отношения $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ .

Тип 3

Погружение детали в бак

Объём детали равен объёму вытесненной жидкости. Если уровень вырос в $k$ раз, то деталь занимает $(k - 1)$ от начального объёма воды.

Тип 4

Уровень жидкости в конусе

Подобие конических сосудов. Если налита половина высоты, объём жидкости составляет лишь $\frac{1}{8}$ от полного объёма (долить нужно $\frac{7}{8}$ ).

Тип 5

Отпиливание вершин многогранников

Подсчёт количества рёбер, вершин и граней после срезания уголков у призм или кубов. Каждая вершина превращается в треугольную грань.

Теоретическая база для практической стереометрии

Перед переходом к практике повторите формулы стереометрии, сгруппированные в тематические блоки:

Объёмы призмы и цилиндра (прямые тела)

Объём любого прямого тела с постоянным сечением (призмы, параллелепипеда, цилиндра) равен произведению площади основания на высоту:

V = S_{\text{осн}} \cdot h

Правильная четырёхугольная призма

В основании лежит квадрат со стороной $a$ . Площадь основания $S_{\text{осн}} = a^2$ . Объём равен $V = a^2 \cdot h$ . Если сторону квадрата увеличить в 2 раза, площадь дна вырастет в $2^2 = 4$ раза.

Цилиндр

В основании лежит круг радиуса $r$ (диаметра $d = 2r$ ). Площадь основания $S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ . Объём равен $V = \pi r^2 h$ . Если кружка в 1,5 раза шире (диаметр больше в 1,5 раза), площадь её дна больше в $1{,}5^2 = 2{,}25$ раза.

Закон сохранения объёма жидкости

при переливании одной и той же жидкости в другой сосуд её объём остаётся неизменным: $V_1 = V_2 \implies S_1 h_1 = S_2 h_2$ . Отсюда отношение высот обратно пропорционально отношению площадей дна: $\dfrac{h_2}{h_1} = \dfrac{S_1}{S_2}$ .

Конус и коэффициент подобия объёмных тел

• Объём конуса: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$ .

• Подобие конусов: уровень налитой жидкости в коническом сосуде отсекает меньший конус, подобный исходному. Линейные размеры (высота, радиус поверхности жидкости, образующая) соотносятся с коэффициентом $k$ .

• Отношение объёмов подобных тел: объёмы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия:

\dfrac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{общ}}} = k^3

Если уровень жидкости достигает половины высоты ( $k = \frac{1}{2}$ ), то объём налитой части составляет всего лишь $V_{\text{жидк}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 V_{\text{общ}} = \frac{1}{8} V_{\text{общ}}$ . Чтобы наполнить сосуд полностью, требуется долить оставшиеся $\frac{7}{8}$ объёма!

3. Элементы многогранников при усечении вершин

При решении комбинаторных геометрических задач на отпиливание вершин у призм или параллелепипедов опираются на формулы подсчёта:

• Правильная треугольная призма в исходном состоянии: имеет $6$ вершин, $5$ граней (2 треугольных основания и 3 прямоугольные боковые грани) и $9$ рёбер (6 рёбер оснований и 3 боковых ребра).

• Операция среза вершины: спил каждой вершины добавляет в многогранник $1$ новую треугольную грань и ровно $3$ новых коротких ребра, образующих срез, в то время как старые рёбра лишь укорачиваются, сохраняя своё число.

• Формула для рёбер: $N_{\text{рёбер}} = N_{\text{исходных рёбер}} + 3 \cdot N_{\text{спиленных вершин}}$ .

Разбор реальных 11 задач ФИПИ

Ниже приведён подробный разбор официальных прототипов банка ФИПИ, иллюстрирующий, как решать 11 задание ЕГЭ математика база быстро и без ошибок:

Пример 1: Переливание жидкости в более широкий сосуд

Задание (ФИПИ): Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 100\text{ см}$ . На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Пошаговый разбор:

1) Пусть сторона основания исходного сосуда равна $a$ . Тогда площадь дна $S_1 = a^2$ . Объём налитой воды равен:

V = S_1 \cdot h_1 = a^2 \cdot 100

2) У второго сосуда сторона основания вдвое больше: $2a$ . Найдём площадь его дна:

S_2 = (2a)^2 = 4a^2

Площадь дна нового сосуда оказалась больше ровно в $4$ раза.

3) Объём налитой воды при переливании не изменился ( $V_1 = V_2$ ):

a^2 \cdot 100 = 4a^2 \cdot h_2

4) Сократим обе части на $a^2$ и выразим уровень воды $h_2$ :

100 = 4h_2 \implies h_2 = \dfrac{100}{4} = 25\text{ см}

Ответ: 25.

Пример 2: Сравнение объёмов двух коробок

Задание (ФИПИ): Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая в два раза шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Пошаговый разбор:

1) Обозначим параметры первой коробки: сторона основания $a_1$ , высота $h_1$ . Тогда её объём равен:

V_1 = a_1^2 \cdot h_1

2) Выразим параметры второй коробки:

• Вторая коробка в $1{,}5$ раза выше первой: $h_2 = 1{,}5 h_1$ .

• Вторая коробка в $2$ раза шире первой: $a_2 = 2 a_1$ .

3) Найдём объём второй коробки:

V_2 = a_2^2 \cdot h_2 = (2a_1)^2 \cdot (1{,}5 h_1) = 4a_1^2 \cdot 1{,}5 h_1 = 6 a_1^2 h_1

4) Найдём отношение объёмов:

\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{6 a_1^2 h_1}{a_1^2 h_1} = 6

Ответ: 6.

Пример 3: Погружение детали в бак с водой

Задание (ФИПИ): В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито $5\text{ л}$ воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в $1{,}8$ раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре $1000$ кубических сантиметров.

Пошаговый разбор:

1) Так как бак имеет вертикальные стенки (форма прямой призмы), объём содержимого прямо пропорционален уровню жидкости: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ .

2) Если уровень воды вырос в $1{,}8$ раза, то и общий объём (вода вместе с погружённой деталью) стал больше в $1{,}8$ раза:

V_{\text{общ}} = 5 \cdot 1{,}8 = 9\text{ л}

3) По закону вытеснения объём погружённой детали равен разности общего объёма и объёма воды:

V_{\text{детали}} = V_{\text{общ}} - V_{\text{воды}} = 9 - 5 = 4\text{ л}

4) Переведём литры в кубические сантиметры ( $1\text{ л} = 1000\text{ см}^3$ ):

V_{\text{детали}} = 4 \cdot 1000 = 4000\text{ см}^3

Ответ: 4000.

Пример 4: Доливание жидкости в конический сосуд

Задание (ФИПИ): В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен $70\text{ мл}$ . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Пошаговый разбор:

1) Меньший конус (заполненный жидкостью) подобен всему коническому сосуду. Коэффициент линейного подобия равен отношению высот: $k = \dfrac{1}{2}$ .

2) Объёмы подобных фигур относятся как куб коэффициента линейного подобия:

\dfrac{V_{\text{жидк}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}

3) Выразим полный объём сосуда, зная, что $V_{\text{жидк}} = 70\text{ мл}$ :

V_{\text{сосуда}} = 8 \cdot V_{\text{жидк}} = 8 \cdot 70 = 560\text{ мл}

4) Вычислим, сколько жидкости требуется долить:

V_{\text{долить}} = V_{\text{сосуда}} - V_{\text{жидк}} = 560 - 70 = 490\text{ мл}

(Быстрый способ: так как налита $\frac{1}{8}$ часть, долить необходимо $\frac{7}{8}$ от полного объёма, то есть $7 \cdot V_{\text{жидк}} = 7 \cdot 70 = 490\text{ мл}$ ).

Ответ: 490.

Пример 5: Сравнение объёмов двух цилиндрических кружек

Задание (ФИПИ): Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

Пошаговый разбор:

1) Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h = \dfrac{\pi d^2}{4} h$ , где $d$ — диаметр (ширина) кружки, $h$ — высота. Пусть для первой кружки диаметр равен $d$ , а высота $h$ .

2) Вторая кружка в $4$ раза выше ( $h_2 = 4h$ ) и в $1{,}5$ раза шире ( $d_2 = 1{,}5d$ ).

3) Запишем объём второй кружки:

V_2 = \dfrac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2 = \dfrac{\pi (1{,}5d)^2}{4} \cdot (4h) = \dfrac{\pi d^2}{4} h \cdot (2{,}25 \cdot 4)

4) Перемножим числовые коэффициенты:

2{,}25 \cdot 4 = 9

Следовательно, $V_2 = 9 V_1$ , и объём первой кружки меньше объёма второй ровно в $9$ раз.

Ответ: 9.

Пример 6: Подсчёт рёбер многогранника со срезанными вершинами

Задание (ФИПИ): От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Пошаговый разбор:

1) У исходной правильной треугольной призмы было $6$ вершин и $9$ рёбер ( $3$ боковых и $6$ в двух треугольных основаниях).

2) При отпиливании одного угла на месте вершины появляется новая грань в виде треугольника, образованная $3$ новыми рёбрами. Старые $9$ рёбер при этом сохраняются (они лишь укорачиваются).

3) Всего отпилили все $6$ вершин призмы:

N_{\text{новых рёбер}} = 6 \cdot 3 = 18

4) Сложим старые сохранившиеся рёбра и все вновь образованные:

N_{\text{всего}} = 9 + 18 = 27

Ответ: 27.

Как решать 11 задание ЕГЭ математика база

Для безошибочного решения стереометрических задач придерживайтесь чёткой последовательности шагов:

Порядок действий

Определите тип фигуры и характер изменения: выясните, меняется ли тело только по высоте (линейная зависимость), по ширине дна (квадратичная зависимость) или целиком во всех измерениях (кубическая зависимость).

Возведите коэффициенты в нужные степени: помните, что при изменении диаметра или стороны основания площадь дна масштабируется в квадрате ( $k^2$ ), а объём подобного конуса — в кубе ( $k^3$ ).

Внимательно перечитайте вопрос задачи: обратите внимание на слова «во сколько раз меньше», «сколько нужно долить» или «найдите объём детали». Не путайте итоговый объём сосуда с объёмом доливаемой порции!

Проверьте единицы измерения: если в условии даны литры, а в ответе требуют кубические сантиметры, умножьте полученный результат на $1000$ ( $1\text{ л} = 1000\text{ см}^3$ ).

Ошибкоопасные места в 11 задании

Анализ экзаменационных работ выпускников показывает три главные стереометрические ловушки:

Забытый квадрат при расширении сосуда

Если сосуд в 2 раза шире, ученики делят высоту на 2 вместо 4 ( $2^2 = 4$ ). Запомните: уровень жидкости при увеличении ширины в $k$ раз падает ровно в $k^2$ раз!

Запись полного объёма вместо доливаемого

В задаче про конический бокал находят полный объём сосуда ( $560\text{ мл}$ ) и записывают его в бланк, забывая вычесть уже налитые $70\text{ мл}$ ( $560 - 70 = 490\text{ мл}$ ).

Игнорирование перевода литров в кубические сантиметры

Получив объём детали $4\text{ л}$ , в ответ записывают число $4$ вместо требуемых $4000\text{ см}^3$ . Всегда сверяйте единицы измерения в последнем предложении условия.

Тренажёры по 11 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Чтобы научиться безошибочно щёлкать задачи по практической стереометрии, переходите к онлайн-тренажёру платформы Экзамео. В систему загружены все прототипы 11 задания базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Тренируйтесь в удобном темпе, проверяйте свои решения с пошаговыми подсказками и гарантируйте себе максимальный результат на государственном экзамене!

Задача 1

Масса и объём двух однородных шаров

Темы2

Задача на отношение объёмов и масс подобных трёхмерных тел. Рассматриваются два однородных шара, изготовленных из одного и того же материала.Вариант 1

Однородный шар радиусом 6 см весит 8 граммов. Сколько граммов весит шар радиусом 12 см, изготовленный из того же материала?

Ваш ответ

Задача 2

Объём ступенчатого многогранника с прямыми двугранными углами

Темы3

Стереометрическая задача на вычисление объёма детали сложной формы с прямыми двугранными углами (ступенчатые L-образные и П-образные многогранники: вырез справа, вырез слева, выемка в центре, Т-образная форма).Вариант 1

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Ваш ответ

Все типы 11 задания ЕГЭ математика база

Теоретическая база для практической стереометрии

Разбор реальных 11 задач ФИПИ

Как решать 11 задание ЕГЭ математика база

Ошибкоопасные места в 11 задании

Тренажёры по 11 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании