МатематикаОГЭ по математике

25 задание ОГЭ по математике - все виды задач

25 задание ОГЭ по математике - полный разбор. Все основные темы: подобие, окружности, касательные, метод площадей, теоремы Менелая и Чевы, дополнительные построения, критерии оценивания и задачи с решениями ФИПИ на Экзамео.

Задание 25 ОГЭ по математике завершает экзаменационную работу и является сложнейшей олимпиадной задачей второй части КИМа, за верное выполнение которой даётся 2 первичных балла. В отличие от вычислительного 23 номера и доказательного 24 номера, 25 линия представляет собой комбинированную геометрическую задачу повышенной сложности. Она охватывает абсолютно все разделы планиметрии 7–9 классов и требует нетривиального логического поиска: выполнения неочевидных дополнительных построений, комбинирования теорем подобия, свойств вписанных и описанных окружностей, а также применения продвинутых методов (метода площадей, теоремы о секущих и касательных, вспомогательной окружности).

На этой странице систематизированы все ключевые идеи и конструкции Задания 25 из открытого банка ФИПИ: классификация конструкций, арсенал базовых и продвинутых теорем, типичные схемы дополнительных построений, официальные критерии проверки экспертов ОГЭ и подробный эталонный разбор сложнейших прототипов.

Отработать решение задач наивысшего уровня сложности помогут интерактивные тренажёры Задания 25 ОГЭ по математике с пошаговыми чертежами и комментариями экспертов.

Критерии оценивания Задания 25 экспертами ФИПИ

Проверка второй части осуществляется экспертами предметной комиссии по строгой двухбалльной шкале:

Баллы

Требования к решению

2 балла

Ход рассуждений понятен и полностью обоснован, все этапы решения логически последовательны, сделан правильный геометрический чертёж, получен верный ответ.

1 балл

Логика решения полностью верна, все ключевые теоремы применены правильно, но допущена одна вычислительная (арифметическая) ошибка, с учётом которой дальнейшие шаги выполнены корректно, либо решение содержит небольшую неточность в обосновании.

0 баллов

Решение не соответствует критериям на 1 или 2 балла (чертёж отсутствует или содержит искажения условий, допущены грубые теоретические ошибки, решение не доведено до конца).

Тематические блоки и конструкции Задания 25

Практически все сюжеты 25 линии открытого банка ФИПИ можно сгруппировать по четырём основным геометрическим блокам:

1. Окружности и касания ⭕

Взаимно касающиеся окружности, общие внешние и внутренние касательные, окружности, вписанные в углы или проходящие через вершины трапеций и треугольников.

2. Подобие и леммы о высотах 🔺

Каскадное подобие прямоугольных треугольников, ортоцентр (точка пересечения высот), треугольник с вершинами в основаниях высот, подобные пары при антипараллельных прямых.

3. Трапеции и четырёхугольники 🔷

Продление боковых сторон трапеции до пересечения, проведение прямой через точку пересечения диагоналей, параллельный перенос диагонали, свойство описанного и вписанного четырёхугольников.

4. Метод площадей и отношения ✂️

Отношение площадей треугольников с равными высотами или общим углом, теорема Менелая и Чевы для секущих линий, делящих стороны треугольника в заданном отношении.

Ключевые инструменты и методы решения

Для успешного решения задач 25 линии стандартного набора формул недостаточно. Необходимо владеть следующими теоретическими связками:

Метод / Теорема

Формула или геометрический факт

Сфера применения

Метод площадей

• $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$ (при общей высоте)

• $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADE}} = \dfrac{AB \cdot AC}{AD \cdot AE}$ (при общем угле $A$ )

Когда известны отношения отрезков сторон и требуется найти итоговую площадь или длину через площади.

Теорема Менелая

\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} = 1

Прямая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей; позволяет мгновенно находить отношения отрезков.

Степень точки и касательные

AK^2 = AM \cdot AN = AP \cdot AQ

Связывает квадрат касательной и произведение отрезков секущей из одной точки.

Вспомогательная окружность

Если отрезок виден из двух точек под равными углами (или сумма противоположных углов $180^\circ$ ) $\implies$ вокруг них можно описать окружность.

Используется для переброски углов через свойства вписанных углов в конфигурациях с высотами треугольника.

Классические дополнительные построения в Задании 25

Если чертёж «не говорит», в $90\%$ случаев ключ к решению кроется в одном из стандартных дополнительных построений:

Золотой фонд дополнительных построений: 💡

1. Удвоение медианы треугольника: Продлите медиану $m$ на её длину ( $A M = M A_1$ ) и соедините полученную точку с вершинами основания. Образуется параллелограмм, диагонали которого равны $2m$ и стороне треугольника, что открывает доступ к теореме о сумме квадратов диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$ .

2. Параллельный перенос диагонали в трапеции: Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную второй диагонали, до пересечения с продолжением большего основания. Образуется прямоугольный или равнобедренный треугольник, площадь которого в точности равна площади трапеции, а основание равно сумме оснований ( $a + b$ ).

3. Продление боковых сторон трапеции: Боковые стороны трапеции продлеваются до пересечения в точке $P$ . Образуются два подобных треугольника с общим углом, связывающие высоты, среднюю линию и основания.

4. Соединение центров касающихся окружностей: Линия центров двух касающихся окружностей всегда проходит через точку касания. Длина отрезка между центрами равна $R_1 + R_2$ (при внешнем касании) или $|R_1 - R_2|$ (при внутреннем). Опуская перпендикуляры на общую касательную, получаем удобную прямоугольную трапецию.

Пошаговый алгоритм решения Задания 25

При решении задачи 25 на экзамене придерживайтесь системного алгоритма:

Порядок действий:

Постройте крупный и геометрически точный чертёж: нарисуйте фигуру без случайных равенств сторон или прямых углов, которых нет в условии. Отметьте равные элементы и известные числовые данные.

Выполните анализ связей и углов: найдите равные или подобные треугольники, выразите равные вписанные углы через общие дуги или введите вспомогательную переменную (угол $\alpha$ или отрезок $x$ ).

Оформите доказательные шаги и вычисления на бланке № 2: запишите каждую применённую теорему со ссылкой на названия фигур (« $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ по двум углам»), доведите расчёт до ответа и запишите слово Ответ.

Разбор сложных прототипов Задания 25 из банка ФИПИ

Рассмотрите полные решения двух классических задач 25 линии открытого банка ФИПИ с идеальным оформлением для бланка ответов № 2.

Пример 1: Вспомогательное подобие через высоты треугольника

Задание: В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$ . Найдите длину отрезка $A_1B_1$ , если $AB = 24$ , а угол $\angle C = 60^\circ$ .

Образец записи на бланке № 2:

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1C$ ( $\angle AA_1C = 90^\circ$ ) и $\triangle BB_1C$ ( $\angle BB_1C = 90^\circ$ ).
Из определения косинуса острого угла:
• В $\triangle AA_1C$ : $\cos C = \dfrac{CA_1}{AC}$ .
• В $\triangle BB_1C$ : $\cos C = \dfrac{CB_1}{BC}$ .

2) Отсюда получаем равенство отношений:

\dfrac{CA_1}{AC} = \dfrac{CB_1}{BC} = \cos C

Перепишем его в виде:

\dfrac{CA_1}{CB_1} = \dfrac{AC}{BC}

3) Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$ :
• Угол $\angle C$ — общий.
• Стороны, заключающие угол $C$ , пропорциональны: $\dfrac{CA_1}{AC} = \dfrac{CB_1}{BC} = \cos C$ .
Следовательно, $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$ по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

4) Коэффициент подобия равен косинусу общего угла: $k = \cos C = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ .

5) Из подобия треугольников отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия:

\dfrac{A_1B_1}{AB} = k = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \implies A_1B_1 = \dfrac{1}{2} \cdot AB

6) Подставим $AB = 24$ :

A_1B_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 24 = 12

Ответ: 12.

Пример 2: Касающиеся окружности и общая касательная

Задание: Окружности радиусов $12$ и $3$ касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на окружностях, а прямая $AB$ является их общей внешней касательной. Найдите длину отрезка $AB$ .

Образец записи на бланке № 2:

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $R = 12$ , $O_2$ — центр окружности радиуса $r = 3$ .
Точки $A$ и $B$ — точки касания прямой с окружностями $O_1$ и $O_2$ соответственно.

2) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:
$O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$ .
Следовательно, $O_1A \parallel O_2B$ , а четырёхугольник $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = 12$ и $O_2B = 3$ .

3) Так как окружности касаются внешним образом, линия центров проходит через точку касания, а расстояние между центрами равно сумме радиусов:

O_1O_2 = R + r = 12 + 3 = 15

4) Опустим из вершины $O_2$ перпендикуляр $O_2H$ на основание $O_1A$ ( $H \in O_1A$ ).
Четырёхугольник $ABO_2H$ — прямоугольник, откуда $AH = O_2B = 3$ , а искомый отрезок $AB = HO_2$ .

5) Найдем длину отрезка $O_1H$ :

O_1H = O_1A - AH = 12 - 3 = 9

6) Треугольник $\triangle O_1HO_2$ — прямоугольный ( $\angle O_1HO_2 = 90^\circ$ ). Применим теорему Пифагора:

HO_2 = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1H^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12

7) Так как $AB = HO_2$ , получаем $AB = 12$ .

Ответ: 12.

Тренажёры по Заданию 25 ОГЭ на Экзамео

Научиться решать олимпиадные задачи и забрать заветные 2 балла за Задание 25 ОГЭ по математике можно с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов сложнейших геометрических задач ФИПИ на касающиеся окружности, каскады подобных треугольников, леммы о высотах и метод площадей.

Интерактивная система предоставляет детальные геометрические чертежи, подсказки по дополнительным построениям и критериальные эталоны оформления второй части к каждому номеру. Занимайтесь на Экзамео в удобном ритме, доводите владение геометрией до совершенства и набирайте максимальный балл на ОГЭ по математике!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.Открыть тему

Ромб и квадратРомб — четырёхугольник с равными сторонами; квадрат — ромб с прямыми углами и равными диагоналями. Обе фигуры широко используются в задачах на площадь, периметр и свойства диагоналей.

Средняя линия треугольникаКлючевой элемент треугольника, обладающий двумя важнейшими свойствами: параллельность третьей стороне и равенство её половине; средняя линия отсекает от треугольника меньший подобный треугольник с коэффициентом подобия 1:2Открыть тему Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.Открыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.