23 задание ОГЭ по математике: геометрические задачи на вычисления всех видов

Задание 23 ОГЭ по математике открывает геометрический блок второй части и оценивается в 2 первичных балла. В отличие от задач первой части, здесь проверяется не просто верное числовое значение, а полное решение на бланке ответов № 2.

Это вычислительная планиметрическая задача повышенной сложности, требующая применения нескольких геометрических свойств или теорем обычно в 2–3 шага. Чаще всего это базовая задача по геометрии, не требующая глубокого понимания, но умения оперировать основными теоремами и формулами.

На этой странице собраны все ключевые прототипы 23 задания из открытого банка ФИПИ, критерии проверки с примерами оформления и тренажеры с подробными решениями и автоматической проверкой ответов.

Основные темы 23 задания ОГЭ

Все прототипы двадцать третьего номера из открытого банка ФИПИ можно разделить на 4 ключевых направления по видам фигур, которые там используются. Однако важно отметить, что даже если вы встречаете различные фигуры, их решение чаще всего будет сводиться к использованию треугольников и параллелограммов.

1. Треугольники и подобие 🔺

Прямоугольные, равнобедренные и произвольные треугольники. Свойства биссектрисы угла (деление противолежащей стороны), медианы (точка пересечения $2:1$ ), высот, теорема Пифагора, подобие по двум углам.

2. Трапеции 🔷

Прямоугольные и равнобедренные трапеции. Нахождение боковых сторон, высот, оснований и средней линии через прямоугольные треугольники или подобие треугольников при пересечении диагоналей.

3. Параллелограммы и ромбы ▱

Биссектриса угла параллелограмма (отсекает равнобедренный треугольник), перпендикулярность диагоналей ромба, проекции сторон на прямые, вычисление высот через баланс формул площади.

4. Окружности и углы ⭕

Центральные и вписанные углы, свойства касательных и секущих, пересекающиеся хорды, радиус описанной окружности около прямоугольного или правильного треугольника ( $R = \frac{a}{2\sin A}$ ).

Перед решением тренажеров настоятельно рекомендуем повторить следующие теоремы.

Справочник ключевых теорем для Задания 23

При оформлении вычислений обязательно ссылайтесь на точные формулировки теорем:

Теорема / Свойство

Формула / Соотношение

Где применяется в 23 номере

Свойство биссектрисы треугольника

\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b}{c}

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Подобные треугольники при диагоналях трапеции

\triangle BOC \sim \triangle DOA \implies \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{BO}{OD} = \dfrac{CO}{OA}

Треугольники при основаниях трапеции подобны по двум накрест лежащим углам при параллельных прямых.

Биссектриса параллелограмма

AB = BK

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ( $\angle BAK = \angle BKA$ как накрест лежащие).

Теорема синусов

\dfrac{a}{\sin A} = 2R

Нахождение радиуса описанной окружности или стороны треугольника через противолежащий угол.

Названия теорем во второй части ОГЭ

При оформлении задачи не обязательно ссылаться на теорему используя её точное название, можно просто написать, «По теореме:» или «Согласно теореме»

Критерии оценивания 23 задания

Важно понимать как проводится проверка задачи и чему должно соответствовать ваше решение на экзамене. Проверка геометрической задачи № 23 осуществляется двумя независимыми экспертами по следующим критериям:

Баллы

Требования к решению и оформлению

2 балла

Ход рассуждений понятен и полностью обоснован, выполнен правильный геометрический чертёж, все промежуточные шаги логически последовательны, получен верный числовой ответ.

1 балл

Логика решения полностью верна, применены необходимые теоремы, но допущена одна вычислительная (арифметическая) ошибка, с учётом которой дальнейшие выкладки выполнены корректно, либо чертёж содержит незначительную неточность, не повлиявшую на ход рассуждений.

0 баллов

Решение не соответствует критериям на 1 или 2 балла (допущены грубые теоретические ошибки, чертёж отсутствует или искажает данные задачи, решение начато, но не доведено до конца).

Таким образом потерять 1 балл можно в следующих случаях:

Арифметическая ошибка в вычислениях.

Недостаточное обоснование шагов решения.

Неточности в формулировках или обозначениях.

Как оформлять решение 23 задания?

23 задание является заданием второй части, поэтому его оформление тоже проверяется.

1. Требования к решению:

Решение оценивается совместно с чертежом. Допускается отражать некоторые факты (равенство отрезков, углов) только на чертеже (с помощью обозначений) или в разделе «Дано».

Разделы «Дано» и «Найти» желательны, но за их отсутствие баллы не снимаются.

Все вычисления должны быть подробными и проводиться по пунктам.

Логика каждого действия должна быть понятна проверяющему.

2. Чертёж обязателен:

Нарисуйте крупный, понятный чертёж. Обозначьте все вершины буквами, а известные величины и прямые углы отметьте символами прямо на рисунке.

Требования к чертежу:

Фигура на чертеже должна строго соответствовать условию (например, нельзя изображать тупоугольный треугольник вместо прямоугольного).

Все данные из условия должны быть нанесены на чертеж.

Все вводимые дополнительные точки (основания высот, биссектрис, медиан, точки пересечения и т.д.) должны быть подписаны и пояснены либо в тексте решения, либо непосредственно на чертеже.

Вводимые переменные (буквенные обозначения отрезков, углов) должны быть описаны словами или показаны на чертеже.

Неравные углы обозначайте разным количеством дуг. Углы обозначайте тремя буквами (или цифрами), чтобы избежать двусмысленности (недопустимо обозначать угол одной заглавной буквой, если не ясно, о каком именно идет речь).

3. Всегда указывайте причину:

Не пишите просто « $AB = CD$ ». Пишите: « $AB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма» или « $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ по двум углам ( $\angle 1 = \angle 2$ как вертикальные, $\angle 3 = \angle 4$ как накрест лежащие)».

Пошаговый алгоритм решения задания 23

Постройте чертёж и запишите условия: нанесите геометрическую фигуру, отметьте известные стороны, углы и проекции.

Разбейте задачу на шаги: найдите связующий элемент (высоту, промежуточный отрезок, коэффициент подобия или угол) через первый геометрический объект.

Выполните итоговый расчёт: примените теорему Пифагора, пропорцию подобия или тригонометрию ко второму объекту и вычислите искомую величину.

Оформите ответ: проверьте отсутствие арифметических описок и запишите слово Ответ с числовым результатом.

Разбор прототипов Задания 23 из банка ФИПИ

Рассмотрите полные решения двух классических задач 23 линии открытого банка ФИПИ с эталонным оформлением для бланка ответов № 2.

Пример 1: Биссектриса угла параллелограмма

Задание: Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ . Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 7$ , а $CK = 12$ .

Место под иллюстрацию: параллелограмм $ABCD$ , луч $AK$ — биссектриса угла $A$ , равные углы $\angle BAK$ , $\angle KAD$ и $\angle BKA$ , отрезки $BK = 7$ и $CK = 12$ .

Эталонное решение для бланка № 2:

1) Отрезок $AK$ — биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ , следовательно:

\angle BAK = \angle KAD

2) Прямые $BC$ и $AD$ параллельны ( $BC \parallel AD$ как противоположные стороны параллелограмма), а $AK$ — секущая. Отсюда накрест лежащие углы равны:

\angle BKA = \angle KAD

3) Из равенств углов в п. 1 и п. 2 следует:

\angle BAK = \angle BKA

Значит, треугольник $\triangle ABK$ — равнобедренный с основанием $AK$ .

4) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны:

AB = BK = 7

5) Сторона $BC$ параллелограмма состоит из суммы отрезков:

BC = BK + CK = 7 + 12 = 19

6) Противоположные стороны параллелограмма равны ( $CD = AB = 7$ , $AD = BC = 19$ ). Вычислим периметр $ABCD$ :

P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 2 \cdot 26 = 52

Ответ: $52$ .

Пример 2: Трапеция и подобные треугольники при диагоналях

Задание: Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$ . Найдите длину основания $AD$ , если $BC = 8$ , $BO = 4$ , а $OD = 10$ .

Место под иллюстрацию: трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $BC$ и $AD$ , диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ , вертикальные углы при точке $O$ и накрест лежащие углы.

Эталонное решение для бланка № 2:

1) Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ :
• Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle CBO$ и $\angle ADO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ ( $BC \parallel AD$ — основания трапеции) и секущей $BD$ .

2) Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам):

\triangle BOC \sim \triangle DOA

3) Запишем отношение соответственных сторон из подобия треугольников:

\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{BO}{OD}

4) Подставим известные числовые данные ( $BC = 8$ , $BO = 4$ , $OD = 10$ ):

\dfrac{8}{AD} = \dfrac{4}{10}

5) Выразим неизвестное основание $AD$ по основному свойству пропорции:

AD = \dfrac{8 \cdot 10}{4} = 2 \cdot 10 = 20

Ответ: $20$ .

Тренажёры по Заданию 23 ОГЭ на Экзамео

Ниже собраны все возможные прототипы 23 задания ОГЭ по математике с подробными пошаговыми решениями и автоматической проверкой ответов. В каждом тренажере доступно большое количество различных вариантов с разными числовыми значениями и вопросами, которые помогут полностью разобраться в каждом виде задач.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы