МатематикаЕГЭ по математике - базовый уровень

Задание 13 ЕГЭ по базовой математике: стереометрия, формулы объёмов и площадей

Разбор 13 задания базового ЕГЭ по математике: параллелепипеды, пирамиды, конусы, цилиндры, сечения и площади поверхностей. Прототипы ФИПИ и тренажёр Экзамео.

На этой странице представлен разбор 13 задания ЕГЭ по математике базового уровня, все стереометрические задачи из официального банка ФИПИ по типам пространственных тел: параллелепипеды, пирамиды, конусы, цилиндры с осевыми сечениями и шары, а также тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов.

13 задание проверяет академические знания стереометрии за курс 10–11 классов и приносит 1 первичный балл. В отличие от прикладного 11 номера, где моделируются бытовые переливания и уровень воды в кружках, здесь исследуются строгие геометрические свойства многогранников и тел вращения: нахождение высоты пирамиды по объёму, вычисление площади сечения цилиндра через хорду основания или расчёт площади боковой поверхности конуса. Все основные стереометрические формулы объёмов и площадей поверхностей официально присутствуют в справочных материалах КИМ, поэтому ключевой навык — свести пространственную задачу к планиметрическому прямоугольному треугольнику внутри фигуры.

Формат и специфика: 13 задание ЕГЭ математика база

• Многообразие пространственных тел: параллелепипеды и кубы (связь рёбер и диагоналей граней), пирамиды (треугольные и четырёхугольные с нахождением высоты или объёма), конусы (отношение площадей боковых поверхностей $S = \pi R l$ ), цилиндры (прямоугольные сечения, параллельные оси) и сферы.

• Опорные сечения и теорема Пифагора: решение подавляющего большинства стереометрических задач сводится к рассмотрению плоского прямоугольного треугольника: грани параллелепипеда, сечения цилиндра или осевого сечения конуса.

• Форма ответа: целое число или конечная десятичная дробь (знаки корней и число $\pi$ обязательно сокращаются в процессе вычислений).

Все типа 13 задания базового ЕГЭ по математике

Все прототипы 13 задания из открытого банка ФИПИ сгруппированы по пяти основным видам стереометрических тел :

Вид 1

Параллелепипед и призма

Прямоугольный параллелепипед, рёбра и диагонали боковых граней. Поиск третьего ребра по теореме Пифагора и расчёт объёма $V = abc$ .

Вид 2

Пирамиды

Пирамиды с прямоугольником или правильным треугольником в основании. Вычисление высоты или объёма по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h$ .

Вид 3

Конусы

Сравнение площадей боковой поверхности двух конусов по формуле $S_{\text{бок}} = \pi R l$ через отношение радиусов и образующих.

Вид 4

Цилиндры и сечения

Сечение, параллельное оси цилиндра. Представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ и $2k$ , где половина хорды $k$ находится из круга основания.

Вид 5

Шар и сфера

Расчёт объёма шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ и площади сферы $S = 4\pi R^2$ , а также задачи на вписанные и описанные комбинации тел.

Теоретический справочник формул стереометрии

Ниже приведены главные формулы для каждого тела, включённые в справочные материалы ЕГЭ по базовой математике:

1. Прямоугольный параллелепипед и призма

• Объём прямоугольного параллелепипеда: произведение трёх его измерений (длины, ширины и высоты):

V = a \cdot b \cdot c

• Грани параллелепипеда: каждая грань является прямоугольником. Если известны ребро $a$ и диагональ грани $d$ , то смежное ребро $c$ находится по теореме Пифагора: $c = \sqrt{d^2 - a^2}$ .

• Квадрат диагонали параллелепипеда: $d_{\text{общ}}^2 = a^2 + b^2 + c^2$ .

• Объём прямой призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ .

2. Пирамида (треугольная и четырёхугольная)

• Объём пирамиды: равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \implies h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}

• Основание — прямоугольник: площадь основания равна произведению сторон $S_{\text{осн}} = a \cdot b$ .

• Основание — правильный треугольник со стороной $a$ : площадь вычисляется по формуле:

S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}

• Боковое ребро, перпендикулярное основанию: если боковое ребро перпендикулярно основанию, его длина равна высоте всей пирамиды ( $h = SA$ ).

3. Конус

• Площадь боковой поверхности конуса: равна произведению числа $\pi$ , радиуса основания $R$ и образующей $l$ :

S_{\text{бок}} = \pi R l

• Сравнение двух конусов: если образующие двух конусов одинаковы ( $l_1 = l_2$ ), то их боковые площади относятся строго как радиусы оснований: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{R_1}{R_2}$ .

• Связь образующей, высоты и радиуса: образуют прямоугольный треугольник в осевом сечении: $l^2 = h^2 + R^2$ .

• Объём конуса: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$ .

4. Цилиндр и параллельные сечения

• Сечение, параллельное оси цилиндра: представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (образующей $h$ ), а вторая сторона — хорде основания $AB$ .

• Геометрия основания цилиндра: расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения — это перпендикуляр $OH = d$ , опущенный из центра круга на хорду $AB$ . Он делит хорду пополам ( $AH = HB$ ).

• Теорема Пифагора в основании: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $R$ (радиус) и катетом $d$ (расстояние до сечения) половина хорды равна:

AH = \sqrt{R^2 - d^2} \implies AB = 2 \cdot AH = 2\sqrt{R^2 - d^2}

• Площадь сечения: $S_{\text{сеч}} = AB \cdot h$ .

Практический разбор прототипов 13 задания

Ниже приведены подробные решения всех официальных задач 13 линии открытого банка ЕГЭ:

Пример 1: Прямоугольный параллелепипед с диагональю грани

Задание: В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$ , $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $3$ , $5$ и $\sqrt{34}$ . Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ .

Пошаговый разбор:

1) Рассмотрим прямоугольную боковую грань $ADD_1A_1$ . В ней отрезок $DA_1 = \sqrt{34}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $DAA_1$ (угол $A = 90^\circ$ ), а ребро $DA = 3$ — катетом.

2) Найдём третье линейное измерение параллелепипеда — боковое ребро (высоту) $AA_1 = DD_1$ по теореме Пифагора:

AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2

AA_1^2 = (\sqrt{34})^2 - 3^2 = 34 - 9 = 25 \implies AA_1 = \sqrt{25} = 5

3) Нам известны все три измерения параллелепипеда:

• Длина: $DA = 3$

• Ширина: $DC = 5$

• Высота: $AA_1 = 5$

4) Вычислим объём параллелепипеда как произведение трёх его измерений:

V = a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75

Ответ: 75.

Пример 2: Треугольная пирамида с ребром, перпендикулярным основанию

Задание: В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $4$ , а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $3\sqrt{3}$ . Найдите объём пирамиды $SABC$ .

Пошаговый разбор:

1) Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $a = 4$ . Найдём площадь основания по формуле:

S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}

2) Так как боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, оно совпадает с высотой пирамиды:

h = SA = 3\sqrt{3}

3) Вычислим объём пирамиды по формуле $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$ :

V = \dfrac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}

4) Сократим тройки и перемножим корни ( $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ ):

V = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 4 \cdot 3 = 12

Ответ: 12.

Пример 3: Отношение площадей боковой поверхности двух конусов

Задание: Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно $7$ и $9$ , а второго — $2$ и $9$ . Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго конуса?

Пошаговый разбор:

1) Формула площади боковой поверхности конуса:

S_{\text{бок}} = \pi R l

2) Запишем формулы для каждого из конусов:

• Для первого конуса ( $R_1 = 7, l_1 = 9$ ): $S_1 = \pi \cdot 7 \cdot 9 = 63\pi$ .

• Для второго конуса ( $R_2 = 2, l_2 = 9$ ): $S_2 = \pi \cdot 2 \cdot 9 = 18\pi$ .

3) Найдём отношение площадей:

\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{63\pi}{18\pi} = \dfrac{63}{18}

4) Сократим дробь на $9$ и переведём в десятичную форму:

\dfrac{63}{18} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5

Ответ: 3,5.

Пример 4: Четырёхугольная пирамида — поиск высоты по объёму

Задание: Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами $9$ и $4$ . Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен $48$ .

Пошаговый разбор:

1) Найдём площадь прямоугольного основания пирамиды:

S_{\text{осн}} = a \cdot b = 9 \cdot 4 = 36

2) Запишем формулу объёма пирамиды:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

3) Подставим известные числовые значения ( $V = 48$ , $S_{\text{осн}} = 36$ ):

48 = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot h

4) Упростим уравнение:

48 = 12h

5) Найдём высоту $h$ :

h = \dfrac{48}{12} = 4

Ответ: 4.

Пример 5: Площадь сечения цилиндра, параллельного оси

Задание: Радиус основания цилиндра равен $17$ , а его образующая равна $10$ . Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное $8$ . Найдите площадь этого сечения.

Пошаговый разбор:

1) Сечение цилиндра, параллельное его оси, является прямоугольником. Высота прямоугольника равна образующей цилиндра: $h = 10$ . Вторая сторона сечения — это хорда $AB$ нижнего основания.

2) Рассмотрим круг основания цилиндра с центром $O$ . Расстояние от оси до плоскости сечения равно перпендикуляру $OH = 8$ , опущенному из центра $O$ на хорду $AB$ .

3) Отрезок $OA$ является радиусом основания: $OA = R = 17$ .

4) В прямоугольном треугольнике $OHA$ (угол $H = 90^\circ$ ) найдём половину хорды $AH$ по теореме Пифагора:

AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15

5) Так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам, найдём полную длину хорды $AB$ :

AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 15 = 30

6) Найдём площадь прямоугольного сечения:

S_{\text{сеч}} = AB \cdot h = 30 \cdot 10 = 300

Ответ: 300.

Пошаговый алгоритм решения 13 задания

Чтобы безошибочно рассчитывать объёмы и площади в стереометрии, придерживайтесь чёткой последовательности шагов:

Определите тип объёмного тела: выделите фигуру из условия — параллелепипед, призма, пирамида, конус или цилиндр.

Сделайте выносной плоский чертёж: перерисуйте основание пирамиды или круг цилиндра отдельно на черновике, чтобы применить теорему Пифагора на плоскости.

Найдите точную формулу в справочнике КИМ: сверьтесь со справочными материалами первой страницы экзаменационного бланка (не забывайте коэффициент $\frac{1}{3}$ у пирамид и конусов).

Проверьте сокращение иррациональностей: в ответе не должно оставаться корней из $3$ , квадратов или числа $\pi$ . Если они не сократились — проверьте промежуточные вычисления.

Ошибкоопасные места в 13 задании

При проверке работ выпускников чаще всего выявляются три характерные ошибки:

Потеря коэффициента 1/3 у пирамид и конусов

Объём пирамиды или конуса вычисляют как $S_{\text{осн}} \cdot h$ , забывая разделить результат на $3$ . Это приводит к завышению ответа ровно в три раза!

Половина хорды вместо целой стороны сечения

В задаче о сечении цилиндра находят катет $AH = 15$ по теореме Пифагора и сразу умножают его на образующую $10$ , забывая удвоить хорду основания ( $AB = 2 \cdot 15 = 30$ ).

Путаница диагонали грани с ребром

В параллелепипеде перемножают все три заданных в условии числа ( $3 \cdot 5 \cdot \sqrt{34}$ ), не замечая, что $\sqrt{34}$ — это диагональ боковой грани, а не третье измерение тела.

Тренажёры по 13 заданию базового ЕГЭ по математике

Тренажёры по 13 заданию базового ЕГЭ по математике включают в себя все задания на стереометрию из открытого банка ФИПИ и сборников для подготовки к экзамену. Для каждого задания вы найдете подробное решение и пошаговое объяснение, чтобы лучше запомнить теорию и формулы.

Задача 1

Угол между диагональю куба и плоскостью грани

Темы2

Простейшая задача на поиск угла между диагональю куба и плоскостью граниВариант 1

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $18$ найдите угол между диагональю $BD_1$ и плоскостью $ADD_1A_1$ .

Ваш ответ

Задача 2

Число рёбер, граней и вершин составного многогранника

Темы3

Стереометрическая задача на подсчет геометрических элементов (ребер, граней, вершин) составного многогранника, полученного путем приклеивания правильной пирамиды к основанию правильной призмы.Вариант 1

К правильной четырёхугольной призме со стороной основания, равной 8, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 8, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ваш ответ

КубОпределение и свойства куба: равные рёбра, грани-квадраты, формулы объёма и площади поверхности.

Все типа 13 задания базового ЕГЭ по математике

Теоретический справочник формул стереометрии

Практический разбор прототипов 13 задания

Пошаговый алгоритм решения 13 задания

Ошибкоопасные места в 13 задании

Тренажёры по 13 заданию базового ЕГЭ по математике

Темы, которые встречаются в этом задании