МатематикаЕГЭ по математике - профильный уровень

1 задание ЕГЭ по математике профиль - планиметрия

Разбор задания 1 профильного ЕГЭ по математике. Полный справочник по планиметрии: треугольники, четырёхугольники, окружности, ключевые формулы площадей, теоремы и свойства вписанных и описанных фигур, разбор всех прототипов и тренажёры на Экзамео.

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике направлено на планиметрию и проверяет умение решать геометрические задачи на плоскости. Задание проверяет свойства треугольников (произвольных, прямоугольных, равнобедренных), параллелограммов, ромбов, трапеций, правильных многоугольников и окружностей, а также все ключевые формулы вычисления площадей и углов.

На этой странице собраны основные формулы и свойства планиметрии из кодификатора ФИПИ: от теоремы Пифагора и тригонометрии до свойств вписанных и описанных окружностей и теорем о касательных и секущих. Подробные разборы всех теорем можно найти на страницах посвященной каждой теме.

Отработать теорию по планиметрии можно после теории в тренажёрах 1 задания ЕГЭ по математике с подробными пошаговыми решениями и чертежами, они помогут вам решать геометрию на плоскости в первой части быстро и без ошибок.

Разбор теории и формул для 1 задания

Ниже разберем основную необходимую теорию по всем фигурам, задачи на которые встречаются в открытом банке заданий ФИПИ и были в вариантах экзамена в прошлые года

Треугольники: произвольные, прямоугольные и равнобедренные

Треугольники составляют более половины всех задач 1 задания. Разберем основные свойства и соотношения между элементами, которых будет достаточно для первой части ЕГЭ. Любая из формул может пригодиться при решении заданий

Прямоугольный треугольник

• Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$

• Тригонометрия: $\sin A = \dfrac{a}{c}$ , $\cos A = \dfrac{b}{c}$ , $\text{tg}\, A = \dfrac{a}{b}$

• Медиана к гипотенузе: равна половине гипотенузы ( $m_c = \dfrac{c}{2} = R$ )

• Высота к гипотенузе: $h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \dfrac{a \cdot b}{c}$

• Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{a + b - c}{2}$

Произвольный треугольник

• Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

• Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

• Свойства линий:

– Биссектриса делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим ( $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b}{c}$ )

– Средняя линия параллельна основанию и равна его половине ( $q = \frac{a}{2}$ )

Формулы площади треугольника

Для ЕГЭ нужно знать все формулы для площадей треугольника, собрали их все в таблицу, чтобы по ней можно было сделать шпаргалку.

Формула площади

Математическая запись

Когда применять

Через сторону и высоту

$S = \dfrac{1}{2} a h_a$

Известны сторона и проведённая к ней высота.

Через две стороны и угол

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$

Известны две стороны и угол между ними.

Формула Герона

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Известны все три стороны ( $p = \frac{a + b + c}{2}$ ).

Через полупериметр и $r$

$S = p \cdot r$

Универсальна для любого описанного многоугольника.

Правильный (равносторонний)

$S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \quad h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Все стороны равны $a$ ( $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ , $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ ).

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Тригонометрия: $\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$ , $\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$ , $\text{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Обозначение: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Что такое коэффициент подобия ?

Коэффициент подобия — это число, показывающее, во сколько раз стороны одного треугольника больше (или меньше) соответствующих сторон другого.

Вспомним три признака подобия треугольников:

Признак

Условие

Краткое название

Первый признак подобия треугольников

$\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$

По двум углам

Второй признак подобия треугольников

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ , $\angle A = \angle A_1$

По двум сторонам и углу

Третий признак подобия треугольников

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

По трём сторонам

Четырёхугольники и многоугольники

Фигура

Ключевые свойства

Формулы площади

Параллелограмм

Противоположные стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$S = a h_a$

$S = ab \sin \alpha$

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$

Ромб

Все стороны равны; диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

$S = a h$

$S = a^2 \sin \alpha$

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$

Трапеция

Основания параллельны. Средняя линия $m = \dfrac{a + b}{2}$ . В равнобедренной трапеции углы при основании и диагонали равны.

$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h$

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$

Окружность, круг и комбинации фигур

Углы и отрезки в окружности 🎯

• Центральный угол: равен градусной мере дуги, на которую опирается ( $\alpha = \cup AB$ ).

• Вписанный угол: равен половине дуги, на которую опирается ( $\beta = \dfrac{1}{2} \cup AB$ ). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой ( $90^\circ$ ).

• Касательная и радиус: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки касательных из одной точки равны.

• Пересекающиеся хорды: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$ .

Вписанные и описанные четырёхугольники

Описанный четырёхугольник ⭕

Окружность вписана в четырёхугольник $\iff$ суммы противоположных сторон равны:

a + c = b + d

Вписанный четырёхугольник 🔵

Четырёхугольник вписан в окружность $\iff$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

Лайфхак для Задания 1 ЕГЭ! 💡

1. Равнобедренная трапеция: Около трапеции можно описать окружность только если она равнобедренная.

2. Описанный параллелограмм: Если в параллелограмм вписана окружность, то это ромб (или квадрат). Если параллелограмм вписан в окружность, то это прямоугольник (или квадрат).

3. Площадь через медианы: Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади). Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Алгоритм решения первого задания:

Проанализируйте условие и сделайте чертёж: отметьте известные стороны, высоты и углы. Выделите искомый элемент.

Найдите ключевые связующие фигуры: выделите прямоугольные треугольники, равнобедренные элементы или вписанные углы.

Примените подходящую теорему или формулу: выберите кратчайшую формулу ( $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ , теорему Пифагора, $P = 2(a+b)$ ) и выпишите итоговое число в бланк.

Разбор некоторых прототипов

Рассмотрите решения характерных задач первой линии ЕГЭ по математике.

Пример 1: Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Задание: В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $BC = 12$ , $\cos A = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ . Найдите гипотенузу $AB$ .

Подробное решение:

1) Свяжем $\sin A$ и $\cos A$ через основное тригонометрическое тождество:

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \implies \sin A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{7}{16}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}

2) По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\sin A = \dfrac{BC}{AB} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{AB}

3) Выразим гипотенузу $AB$ :

AB = \dfrac{12 \cdot 4}{3} = 16

Ответ: $16$ .

Пример 2: Описанный четырёхугольник и радиус вписанной окружности

Задание: Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 7$ , $BC = 10$ , $CD = 14$ . Найдите четвёртую сторону $AD$ .

Подробное решение:

1) По свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

AB + CD = BC + AD

2) Подставим данные из условия задачи:

7 + 14 = 10 + AD \implies 21 = 10 + AD

3) Вычислим сторону $AD$ :

AD = 21 - 10 = 11

Ответ: $11$ .

Пример 3: Нахождение площади трапеции через высоту и основания

Задание: Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $26$ , а её боковая сторона равна $10$ . Найдите площадь трапеции.

Подробное решение:

1) Опустим две высоты $BH$ и $CK$ из вершин меньшего основания на большее $AD = 26$ .

2) Отрезок $HK = BC = 14$ . Так как трапеция равнобедренная, крайние отрезки равны:

AH = KD = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{26 - 14}{2} = 6

3) Из прямоугольного треугольника $ABH$ ( $AB = 10$ , $AH = 6$ ) найдем высоту $BH$ по теореме Пифагора:

BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8

4) Рассчитаем площадь трапеции:

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{14 + 26}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160

Ответ: $160$ .

Тренажёры по 1 заданию ЕГЭ по математике

Довести до автоматизма решение Задания 1 профильного ЕГЭ по математике помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В нашем банке собраны все различные варианты актуальных прототипов задач ФИПИ на планиметрию: все виды треугольников, четырёхугольников, окружностей и вписанных фигур. Для каждого задания вы найдете подробные решения и проверку ответов.

Задача 1

Медиана, равная половине стороны

Темы2

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на ключевой признак прямоугольного треугольника: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из которого она выходит, прямой.Вариант 1

В треугольнике $PQR$ проведена медиана $QH$ . Найдите градусную меру угла $\angle R$ , если $\angle P = 37^\circ$ и $QH = PH = HR$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Площадь равнобедренной трапеции

Темы2

Задачи на площадь равнобедренной трапецииВариант 1

Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а ее периметр равен 26. Найдите площадь трапеции.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Второй признак подобия треугольниковЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.Открыть тему

Медиана треугольникаКороткая теория и структура темы для повторения.

Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.Открыть тему Средняя линия треугольникаКлючевой элемент треугольника, обладающий двумя важнейшими свойствами: параллельность третьей стороне и равенство её половине; средняя линия отсекает от треугольника меньший подобный треугольник с коэффициентом подобия 1:2Открыть тему Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.Открыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСвойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Разбор теории и формул для 1 задания

Треугольники: произвольные, прямоугольные и равнобедренные

Формулы площади треугольника

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников

Четырёхугольники и многоугольники

Окружность, круг и комбинации фигур

Вписанные и описанные четырёхугольники

Алгоритм решения первого задания:

Разбор некоторых прототипов

Тренажёры по 1 заданию ЕГЭ по математике

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании