МатематикаОГЭ по математике

Задание 24 ОГЭ по математике - все виды задач ФИПИ

Задание 24 ОГЭ по математике - разбор основных методов доказательства, все виды заданий из банка ФИПИ с решениями и пояснениями на Экзамео.

Задание 24 ОГЭ по математике является второй геометрической задачей повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом во второй части экзаменационного КИМа и приносит 2 первичных балла. В отличие от вычислительных заданий № 15–18 и № 23, двадцать четвёртый номер — это задача на геометричекое доказательство. Здесь не требуется находить числовые значения длин, углов или площадей: главная цель — выстроить строгую, логически замкнутую и обоснованную цепочку рассуждений, опираясь исключительно на доказанные аксиомы, определения и теоремы планиметрии 7–9 классов.

На этой странице систематизирована вся необходимая база для успешного выполнения 24 задания из открытого банка ФИПИ: официальные критерии проверки экспертов, ключевые фигуры и конструкции, базовый теоретический аппарат, классические методы доказательств (от подобия и признаков четырёхугольников до свойств вписанных углов), а также эталонные образцы оформления решений для бланка ответов № 2.

Отработать доказательства всех прототипов открытого банка помогут интерактивные тренажёры 24 задания ОГЭ по математике с пошаговыми обоснованиями и доказательствами.

Критерии оценивания Задания 24 экспертами ФИПИ

Оценивание доказательства на бланке ответов № 2 проводится экспертами по двухбалльной шкале. Поскольку задача не содержит численного ответа, здесь действуют специфические критерии логической полноты:

Баллы

Требования к доказательству

2 балла

Доказательство правильное, все утверждения обоснованы ссылками на геометрические теоремы или свойства, логическая последовательность полностью соблюдена, чертёж соответствует условию.

1 балл

Ход доказательства в целом верен, идея полностью понятна, но допущены незначительные пробелы в обоснованиях (например, не указан признак равенства/подобия треугольников или не пояснено равенство накрест лежащих углов), при этом логика рассуждений не нарушена.

0 баллов

Доказательство не доведено до конца, допущены грубые теоретические ошибки (использование несуществующих признаков, опора на чертёж «на глаз», порочный круг в доказательстве: предположение доказываемого факта).

Основные конструкции в 24 задании

Задачи на доказательство в КИМ ОГЭ опираются на ограниченный перечень фигур планиметрии, которые встречаются в открытом банке ФИПИ ОГЭ по математике

Треугольники

Доказательство равенства или подобия треугольников, равнобедренность, свойства медиан (деление треугольника на равновеликие части, точка пересечения $2:1$ ), биссектрис (пропорциональность отрезков) и высот.

Параллелограммы и трапеции ▱

Доказательство того, что четырёхугольник является параллелограммом, ромбом или прямоугольником; доказательство равенства треугольников, образованных диагоналями трапеции с боковыми сторонами.

Окружности и касательные

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на общую дугу или хорду; равенство отрезков касательных из одной точки; перпендикулярность радиуса и касательной.

Вписанные и описанные четырёхугольники

Доказательство возможности вписать или описать окружность около четырёхугольника через равенство противоположных углов ( $180^\circ$ ) или сумм сторон.

Главные способы геометрических доказательств

В 24 задании ОГЭ доказательство чаще всего сводится к реализации одной из 5 классических стратегий:

Способ доказательства

Суть метода

Где чаще всего применяется

Через равенство треугольников

Находим два треугольника, доказываем их равенство по одному из 3 признаков $\implies$ делаем вывод о равенстве соответственных сторон или углов.

Доказательство равенства отрезков, углов или равенства противоположных сторон четырёхугольника.

Через подобие треугольников

Доказываем подобие треугольников (чаще всего по двум равным углам: вертикальным, накрест лежащим или вписанным) $\implies$ получаем пропорциональность отрезков: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ .

Доказательство произведений отрезков вида $AB \cdot CD = BC \cdot AD$ или равенства отношений.

Через признаки параллелограмма

Доказываем, что две стороны равны и параллельны, либо противоположные стороны попарно равны/параллельны, либо диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Доказательство параллельности прямых или равенства отрезков через вспомогательный четырёхугольник.

Через свойства дуг и углов в окружности

Равенство углов обосновывается тем, что они оба опираются на одну общую дугу или равные хорды одной окружности.

Задачи с вписанными многоугольниками, секущими и хордами.

Через метод площадей (равновеликость)

Показываем, что треугольники имеют общее основание и общую высоту (или их площади равны разности равных площадей): $S_1 = S_2$ .

Доказательство равенства площадей «боковых» треугольников в трапеции ( $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$ ).

Базовые определения и признаки, на которые необходимо ссылаться

Формулировки для обоснований в решении: 📜

• Признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (1-й); по стороне и двум прилежащим углам (2-й); по трём сторонам (3-й).

• Признаки подобия треугольников: по двум углам (самый частый в ОГЭ); по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам.

• Свойства параллельных прямых: накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; сумма односторонних углов равна $180^\circ$ .

• Признаки параллелограмма: если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны ( $AB = CD$ и $AB \parallel CD$ ), то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Золотые правила идеального доказательства на ОГЭ: 💡

1. Не путайте свойства и признаки! «Свойство» говорит о том, что происходит, когда фигура уже задана (например, «в параллелограмме противоположные стороны равны»). «Признак» позволяет доказать, кем является фигура (например, «если в четырёхугольнике стороны попарно параллельны, то это параллелограмм»).

2. Пишите три элемента при равенстве треугольников: Всегда явно выписывайте 3 пункта равенства перед выводом: «1) $AB = A_1B_1$ (по условию); 2) $\angle A = \angle A_1$ (как накрест лежащие); 3) $AC = A_1C_1$ $\implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними».

3. Финал доказательства: Обязательно заканчивайте решение фразой: «Что и требовалось доказать» (или сокращением «ч. т. д.»).

Пошаговый алгоритм выполнения Задания 24

При оформлении Задания 24 на бланке № 2 придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Постройте чертёж и выделите Дано/Доказать: изобразите фигуру в общем виде (не делайте треугольник равносторонним или прямоугольным, если этого нет в условии) и отметьте равные элементы.

Определите рабочий инструмент: выберите, через что проще выйти на доказываемый факт — через подобие, равенство фигур, вписанные углы или метод площадей.

Запишите логические шаги со ссылками на теоремы: последовательно обоснуйте каждый переход и завершите решение фразой «что и требовалось доказать».

Разбор типовых прототипов Задания 24 из банка ФИПИ

Рассмотрите примеры эталонного оформления решений Задания 24 для бланка ответов № 2.

Пример 1: Доказательство подобия треугольников через углы при параллельных прямых

Задание: В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AB$ . Отрезок $DE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$ . Докажите, что $AO : OC = 1 : 2$ .

Эталонное доказательство для бланка № 2:

1) Рассмотрим треугольники $\triangle AOE$ и $\triangle COD$ :
• Углы $\angle AOE$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle EAO$ и $\angle OCD$ (то есть $\angle CAB$ и $\angle ACD$ ) равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ ( $ABCD$ — параллелограмм, $AB \parallel CD$ ) и секущей $AC$ .

2) Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны:

\triangle AOE \sim \triangle COD \quad \text{(по двум углам)}

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:

\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AE}{CD}

4) По условию задачи точка $E$ — середина стороны $AB$ , следовательно:

AE = \dfrac{1}{2} AB

5) Так как в параллелограмме противоположные стороны равны ( $AB = CD$ ), получаем:

AE = \dfrac{1}{2} CD \implies \dfrac{AE}{CD} = \dfrac{1}{2}

6) Подставляя полученное отношение в пропорцию из п. 3:

\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{1}{2}, \quad \text{то есть} \quad AO : OC = 1 : 2

Что и требовалось доказать.

Пример 2: Доказательство равновеликости треугольников в трапеции

Задание: Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны.

Эталонное доказательство для бланка № 2:

1) Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ :
• Они имеют общее основание — сторону $AD$ .
• Высоты, опущенные из вершин $B$ и $C$ на прямую $AD$ , равны, так как основания трапеции параллельны ( $BC \parallel AD$ ) и расстояние между параллельными прямыми постоянно.

2) Так как треугольники имеют общее основание и равные высоты, их площади равны:

S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot h

3) Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей:

S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle AOD}

4) Площадь треугольника $\triangle ACD$ также представима как сумма площадей:

S_{\triangle ACD} = S_{\triangle CDO} + S_{\triangle AOD}

5) Приравняем равенства площадей из п. 2:

S_{\triangle ABO} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle CDO} + S_{\triangle AOD}

6) Вычитая общую площадь треугольника $\triangle AOD$ из обеих частей равенства, получаем:

S_{\triangle ABO} = S_{\triangle CDO}

Что и требовалось доказать.

Тренажёры по 24 заданию ОГЭ по математике

Ниже собраны все прототипы 24 заданий из открытого банка ФИПИ с подробными решениями и пояснениями, которые помогут разобраться в способах доказательств и подготовиться к задачам из второй части по геометрии.

Задача 1

Подобие треугольников, образованных высотами тупоугольного треугольника

Темы7

Вариант 1

В треугольнике $DEF$ с тупым углом $\angle DEF$ проведены высоты $DD_1$ и $FF_1$ . Докажите, что треугольники $D_1EF_1$ и $DEF подобны.

Ваш ответ

Задача 2

Отношение диаметров окружностей через внутреннюю касательную

Темы6

Доказательство того, что диаметры двух окружностей относятся как отрезки, на которые их внутренняя общая касательная делит линию центров, с использованием подобия прямоугольных треугольников.Вариант 1

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $p : q$ . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $p : q$ .