МатематикаОГЭ по математике

Задание 24 ОГЭ по математике: геометрическое доказательство

Задание 24 ОГЭ по математике - полный разбор задачи на геометрическое доказательство - основные методы доказательства, критерии ФИПИ на 2 балла, оформление и все виды заданий с решениями на Экзамео.

Задание 24 ОГЭ по математике является второй геометрической задачей повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом во второй части экзаменационного КИМа и приносит 2 первичных балла. В отличие от вычислительных заданий № 15–18 и № 23, двадцать четвёртый номер — это чистая задача на математическое доказательство. Здесь не требуется находить числовые значения длин, углов или площадей: цель участника экзамена — выстроить строгую, логически замкнутую и обоснованную цепочку рассуждений, опираясь исключительно на доказанные аксиомы, определения и теоремы планиметрии 7–9 классов.

На этой странице систематизирована вся необходимая база для успешного выполнения 24 задания из открытого банка ФИПИ: официальные критерии проверки экспертов, ключевые фигуры и конструкции, базовый теоретический аппарат, классические методы доказательств (от подобия и признаков четырёхугольников до свойств вписанных углов), а также эталонные образцы оформления решений для бланка ответов № 2.

Отработать доказательства всех прототипов открытого банка помогут интерактивные тренажёры Задания 24 ОГЭ по математике с пошаговыми эталонами обоснований.

Критерии оценивания Задания 24 экспертами ФИПИ

Оценивание доказательства на бланке ответов № 2 проводится экспертами по двухбалльной шкале. Поскольку задача не содержит численного ответа, здесь действуют специфические критерии логической полноты:

Баллы

Требования к доказательству

2 балла

Доказательство правильное, все утверждения обоснованы ссылками на геометрические теоремы или свойства, логическая последовательность полностью соблюдена, чертёж соответствует условию.

1 балл

Ход доказательства в целом верен, идея полностью понятна, но допущены незначительные пробелы в обоснованиях (например, не указан признак равенства/подобия треугольников или не пояснено равенство накрест лежащих углов), при этом логика рассуждений не нарушена.

0 баллов

Доказательство не доведено до конца, допущены грубые теоретические ошибки (использование несуществующих признаков, опора на чертёж «на глаз», порочный круг в доказательстве: предположение доказываемого факта).

Основные фигуры и конструкции в Задании 24

Сюжеты задач на доказательство в КИМ ОГЭ опираются на ограниченный перечень фигур школьного курса:

1. Треугольники 🔺

Доказательство равенства или подобия треугольников, равнобедренность, свойства медиан (деление треугольника на равновеликие части, точка пересечения $2:1$ ), биссектрис (пропорциональность отрезков) и высот.

2. Параллелограммы и трапеции ▱

Доказательство того, что четырёхугольник является параллелограммом, ромбом или прямоугольником; доказательство равенства треугольников, образованных диагоналями трапеции с боковыми сторонами.

3. Окружности и касательные ⭕

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на общую дугу или хорду; равенство отрезков касательных из одной точки; перпендикулярность радиуса и касательной.

4. Вписанные и описанные четырёхугольники 🔷

Доказательство возможности вписать или описать окружность около четырёхугольника через равенство противоположных углов ( $180^\circ$ ) или сумм сторон.

Главные способы геометрических доказательств

В 24 задании ОГЭ доказательство чаще всего сводится к реализации одной из 5 классических стратегий:

Способ доказательства

Суть метода

Где чаще всего применяется

Через равенство треугольников

Находим два треугольника, доказываем их равенство по одному из 3 признаков $\implies$ делаем вывод о равенстве соответственных сторон или углов.

Доказательство равенства отрезков, углов или равенства противоположных сторон четырёхугольника.

Через подобие треугольников

Доказываем подобие треугольников (чаще всего по двум равным углам: вертикальным, накрест лежащим или вписанным) $\implies$ получаем пропорциональность отрезков: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ .

Доказательство произведений отрезков вида $AB \cdot CD = BC \cdot AD$ или равенства отношений.

Через признаки параллелограмма

Доказываем, что две стороны равны и параллельны, либо противоположные стороны попарно равны/параллельны, либо диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Доказательство параллельности прямых или равенства отрезков через вспомогательный четырёхугольник.

Через свойства дуг и углов в окружности

Равенство углов обосновывается тем, что они оба опираются на одну общую дугу или равные хорды одной окружности.

Задачи с вписанными многоугольниками, секущими и хордами.

Через метод площадей (равновеликость)

Показываем, что треугольники имеют общее основание и общую высоту (или их площади равны разности равных площадей): $S_1 = S_2$ .

Доказательство равенства площадей «боковых» треугольников в трапеции ( $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$ ).

Базовые определения и признаки, на которые необходимо ссылаться

Формулировки для обоснований в решении: 📜

• Признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (1-й); по стороне и двум прилежащим углам (2-й); по трём сторонам (3-й).

• Признаки подобия треугольников: по двум углам (самый частый в ОГЭ); по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам.

• Свойства параллельных прямых: накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; сумма односторонних углов равна $180^\circ$ .

• Признаки параллелограмма: если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны ( $AB = CD$ и $AB \parallel CD$ ), то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Золотые правила идеального доказательства на ОГЭ: 💡

1. Не путайте свойства и признаки! «Свойство» говорит о том, что происходит, когда фигура уже задана (например, «в параллелограмме противоположные стороны равны»). «Признак» позволяет доказать, кем является фигура (например, «если в четырёхугольнике стороны попарно параллельны, то это параллелограмм»).

2. Пишите три элемента при равенстве треугольников: Всегда явно выписывайте 3 пункта равенства перед выводом: «1) $AB = A_1B_1$ (по условию); 2) $\angle A = \angle A_1$ (как накрест лежащие); 3) $AC = A_1C_1$ $\implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними».

3. Финал доказательства: Обязательно заканчивайте решение фразой: «Что и требовалось доказать» (или сокращением «ч. т. д.»).

Пошаговый алгоритм выполнения Задания 24

При оформлении Задания 24 на бланке № 2 придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Постройте чертёж и выделите Дано/Доказать: изобразите фигуру в общем виде (не делайте треугольник равносторонним или прямоугольным, если этого нет в условии) и отметьте равные элементы.

Определите рабочий инструмент: выберите, через что проще выйти на доказываемый факт — через подобие, равенство фигур, вписанные углы или метод площадей.

Запишите логические шаги со ссылками на теоремы: последовательно обоснуйте каждый переход и завершите решение фразой «что и требовалось доказать».

Разбор типовых прототипов Задания 24 из банка ФИПИ

Рассмотрите примеры эталонного оформления решений Задания 24 для бланка ответов № 2.

Пример 1: Доказательство подобия треугольников через углы при параллельных прямых

Задание: В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AB$ . Отрезок $DE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$ . Докажите, что $AO : OC = 1 : 2$ .

Эталонное доказательство для бланка № 2:

1) Рассмотрим треугольники $\triangle AOE$ и $\triangle COD$ :
• Углы $\angle AOE$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle EAO$ и $\angle OCD$ (то есть $\angle CAB$ и $\angle ACD$ ) равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ ( $ABCD$ — параллелограмм, $AB \parallel CD$ ) и секущей $AC$ .

2) Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны:
$$\triangle AOE \sim \triangle COD \quad \text{(по двум углам)}$$

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:
$$\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AE}{CD}$$

4) По условию задачи точка $E$ — середина стороны $AB$ , следовательно:
$$AE = \dfrac{1}{2} AB$$

5) Так как в параллелограмме противоположные стороны равны ( $AB = CD$ ), получаем:
$$AE = \dfrac{1}{2} CD \implies \dfrac{AE}{CD} = \dfrac{1}{2}$$

6) Подставляя полученное отношение в пропорцию из п. 3:
$$\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{1}{2}, \quad \text{то есть} \quad AO : OC = 1 : 2$$

Что и требовалось доказать.

Пример 2: Доказательство равновеликости треугольников в трапеции

Задание: Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны.

Эталонное доказательство для бланка № 2:

1) Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ :
• Они имеют общее основание — сторону $AD$ .
• Высоты, опущенные из вершин $B$ и $C$ на прямую $AD$ , равны, так как основания трапеции параллельны ( $BC \parallel AD$ ) и расстояние между параллельными прямыми постоянно.

2) Так как треугольники имеют общее основание и равные высоты, их площади равны:
$$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot h$$

3) Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей:
$$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle AOD}$$

4) Площадь треугольника $\triangle ACD$ также представима как сумма площадей:
$$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle CDO} + S_{\triangle AOD}$$

5) Приравняем равенства площадей из п. 2:
$$S_{\triangle ABO} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle CDO} + S_{\triangle AOD}$$

6) Вычитая общую площадь треугольника $\triangle AOD$ из обеих частей равенства, получаем:
$$S_{\triangle ABO} = S_{\triangle CDO}$$

Что и требовалось доказать.

Тренажёры по Заданию 24 ОГЭ на Экзамео

Научиться уверенно строить строгие логические доказательства и забирать максимальные 2 балла за Задание 24 ОГЭ по математике можно с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов задач на доказательство из открытого банка ФИПИ на все виды треугольников, четырёхугольников, трапеций и окружностей.

Интерактивная система предоставляет эталонные пошаговые решения с выверенными геометрическими формулировками и пояснениями критериев экспертов к каждому номеру. Занимайтесь на Экзамео в комфортном ритме, осваивайте искусство строгого математического обоснования и гарантированно получайте отличные оценки на ОГЭ по математике!

Задача 1

Подобие треугольников, образованных высотами тупоугольного треугольника

Темы7

Вариант 1

В треугольнике $DEF$ с тупым углом $\angle DEF$ проведены высоты $DD_1$ и $FF_1$ . Докажите, что треугольники $D_1EF_1$ и $DEF подобны.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Отношение диаметров окружностей через внутреннюю касательную

Темы6

Доказательство того, что диаметры двух окружностей относятся как отрезки, на которые их внутренняя общая касательная делит линию центров, с использованием подобия прямоугольных треугольников.Вариант 1

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $p : q$ . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $p : q$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Второй признак подобия треугольниковЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.Открыть тему Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.Открыть тему

Ромб и квадратРомб — четырёхугольник с равными сторонами; квадрат — ромб с прямыми углами и равными диагоналями. Обе фигуры широко используются в задачах на площадь, периметр и свойства диагоналей.

Средняя линия треугольникаКлючевой элемент треугольника, обладающий двумя важнейшими свойствами: параллельность третьей стороне и равенство её половине; средняя линия отсекает от треугольника меньший подобный треугольник с коэффициентом подобия 1:2Открыть тему Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.Открыть тему Общие касательные двух окружностейОбщие касательные — это прямые, касающиеся двух окружностей. Рассматриваем их взаимное расположениеОткрыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.