МатематикаЕГЭ по математике - базовый уровень

12 задание ЕГЭ математика База - полный разбор и тренажёры

12 задание базового ЕГЭ по математике - вся теория по геометрии и тренажёры с решениями и проверкой всех типов из открытого банка фипи.

На этой странице представлен разбор теории по 12 заданию ЕГЭ по математике базового уровня и подробно рассмотрены все виды планиметрических задач из официального банка ФИПИ. После теории вы найдете тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов.

12 задание на базовом ЕГЭ по математике проверяет классическую планиметрию за 7–9 класс и приносит 1 первичный балл.

В отличие от 10 практического номера, здесь рассматриваются строгие геометрические чертежи. Огромное преимущество для выпускников базового уровня: практически все ключевые формулы официально включены в справочные материалы ЕГЭ.

Главное — уметь быстро находить нужную формулу в раздаточном материале и применять её к конкретному рисунку.

Формат и специфика: 12 задание ЕГЭ математика база

• Многообразие геометрических фигур: прямоугольные треугольники (поиск катетов, гипотенузы, тригонометрических функций), равнобедренные треугольники с высотой к основанию, ромбы и квадраты (связь площадей и углов), прямоугольники, а также окружности с центральными и вписанными углами.

• Тригонометрия как рабочий инструмент: синус, косинус и тангенс в 12 задании часто используются не только в треугольниках, но и внутри прямоугольников, ромбов или трапеций через выделение прямоугольного треугольника.

• Форма ответа: целое число или конечная десятичная дробь (никаких знаков корней, градусов или наименований в бланк писать нельзя).

Все типы планиметрических задач в 12 задании

Все прототипы 12 задания из открытого банка ФИПИ можно разделить на пять основных геометрических направлений, каждое из них может встретиться на настоящем экзамене в 2027 году.

Тип 1

Прямоугольный треугольник

Нахождение катетов, гипотенузы по теореме Пифагора, вычисление $\sin$ , $\cos$ , $\text{tg}$ острых углов по их классическим определениям.

Тип 2

Равнобедренные фигуры

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Тип 3

Четырёхугольники и углы

Ромбы, квадраты, прямоугольники и параллелограммы. Связь сторон, высот, диагоналей, острых углов и тригонометрических отношений.

Тип 4

Окружности и углы

Центральные и вписанные углы, равнобедренные треугольники из радиусов ( $OA = OB = R$ ), треугольник, опирающийся на диаметр.

Тип 5

Смежные углы и биссектрисы

Углы на прямой, развёрнутые углы $180^\circ$ , биссектрисы смежных и вертикальных углов, свойства параллельных прямых и секущих.

Теоретическая база: основные свойства фигур и формулы

Ниже собраны самые важные планиметрические свойства. Все эти формулы содержатся в официальных справочных материалах базового ЕГЭ:

1. Прямоугольный треугольник и тригонометрия по определению

В прямоугольном треугольнике с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$ :

• Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$ .

• Синус острого угла: отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$ .

• Косинус острого угла: отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$ .

• Тангенс острого угла: отношение противолежащего катета к прилежащему: $\text{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}$ .

• Площадь прямоугольного треугольника: $S = \dfrac{1}{2}ab$ .

2. Произвольный и равнобедренный треугольники (площади и теоремы)

Равнобедренный треугольник:

Боковые стороны равны, углы при основании равны.

Высота, опущенная на основание, является медианой (делит основание пополам) и биссектрисой.

Формулы площади треугольника:

S = \dfrac{1}{2} a h_a, \quad S = \dfrac{1}{2} a b \sin \gamma

Теорема косинусов:

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma

Теорема синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R

3. Четырёхугольники: прямоугольник, ромб, квадрат, параллелограмм

Прямоугольник:

Противоположные стороны равны ( $AB = CD$ , $BC = AD$ ), все углы по $90^\circ$ .

Площадь $S = a \cdot b$ .

Квадрат:

все стороны равны $a$ , а углы равны $90^\circ$

Площадь квадрата равна

S=a^2

Диагнональ квадрата

d=a\sqrt2

Ромб:

Все стороны равны $a$ .

Площадь ромба через сторону и угол:

S=a^2\sin\alpha

Площадь ромба через диагонали:

S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2

Если у ромба и квадрата стороны одинаковы ( $a$ ), то площадь ромба равна площади квадрата, умноженной на синус острого угла: $S_{\text{ромба}} = S_{\text{квадрата}} \cdot \sin \alpha$ .

Параллелограмм:

$S = a h_a = a b \sin \alpha$ .

4. Окружность: радиусы, диаметры и углы

• Связь радиуса и диаметра: $d = 2R$ . Отрезки от центра окружности до любой точки на окружности равны между собой ( $OA = OB = OC = R$ ).

• Треугольники из радиусов: треугольник $AOC$ , образованный двумя радиусами $OA$ и $OC$ , всегда равнобедренный ( $OA = OC$ ).

• Угол, опирающийся на диаметр: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда прямой и равен $90^\circ$ .

• Смежные углы: сумма углов, образующих развёрнутую прямую, равна $180^\circ$ ( $\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$ ).

Примеры решения прототипов 12 задания

Ниже приведены подробные решения официальных задач открытого банка ФИПИ:

Пример 1: Прямоугольный треугольник — нахождение косинуса угла

Задание (ФИПИ): В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $AB = 20$ , $AC = 2\sqrt{19}$ . Найдите $\cos B$ .

Пошаговый разбор:

1) По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$ :

\cos B = \dfrac{BC}{AB}

2) Найдём прилежащий катет $BC$ по теореме Пифагора ( $AB^2 = AC^2 + BC^2$ ):

BC^2 = AB^2 - AC^2

BC^2 = 20^2 - (2\sqrt{19})^2 = 400 - 4 \cdot 19 = 400 - 76 = 324

3) Извлечём квадратный корень:

BC = \sqrt{324} = 18

4) Вычислим значение косинуса угла $B$ :

\cos B = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9

Ответ: 0,9.

Пример 2: Равнобедренный треугольник — нахождение площади

Задание (ФИПИ): В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$ , $AC = 14$ . Найдите площадь треугольника $ABC$ .

Пошаговый разбор:

1) Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC = 14$ . Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$ .

2) В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, следовательно:

AH = HC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ с гипотенузой $AB = 25$ и катетом $AH = 7$ . Найдём высоту $BH$ по теореме Пифагора:

BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24

4) Вычислим площадь треугольника по формуле $S = \dfrac{1}{2} a h$ :

S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168

Ответ: 168.

Пример 3: Окружность с диаметром — нахождение диаметра через угол

Задание (ФИПИ): На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$ , $AC = 23$ . Найдите длину диаметра окружности.

Пошаговый разбор:

1) Отрезок $AB$ — диаметр, поэтому точки $A, O, B$ лежат на одной прямой. Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными:

\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

2) Рассмотрим треугольник $AOC$ . Отрезки $OA$ и $OC$ — радиусы окружности ( $OA = OC = R$ ), следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный.

3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

\angle OAC = \angle OCA = \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ

Так как все три угла треугольника $AOC$ равны $60^\circ$ , треугольник $AOC$ является равносторонним!

4) Из равносторонности следует:

R = OA = OC = AC = 23

5) Диаметр окружности вдвое больше радиуса:

d = 2R = 2 \cdot 23 = 46

Ответ: 46.

Пример 4: Прямоугольник — площадь и тангенс угла

Задание (ФИПИ): Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $300$ , сторона $AB = 9$ . Найдите тангенс угла $CAD$ .

Пошаговый разбор:

1) В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны: $CD = AB = 9$ .

2) Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = AD \cdot AB$ . Найдём сторону $AD$ :

300 = AD \cdot 9 \implies AD = \dfrac{300}{9} = \dfrac{100}{3}

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (угол $D = 90^\circ$ ).

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\text{tg}\angle CAD = \dfrac{CD}{AD}

4) Подставим известные стороны $CD = 9$ и $AD = \dfrac{100}{3}$ :

\text{tg}\angle CAD = \dfrac{9}{\frac{100}{3}} = 9 \cdot \dfrac{3}{100} = \dfrac{27}{100} = 0{,}27

Ответ: 0,27.

Пример 5: Смежные углы и биссектриса угла

Задание (ФИПИ): На прямой $AB$ отмечена точка $M$ . Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$ . Известно, что $\angle DMC = 78^\circ$ . Найдите величину угла $CMA$ . Ответ дайте в градусах.

Пошаговый разбор:

1) Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$ , значит он делит угол $CMB$ на два равных угла:

\angle DMB = \angle DMC = 78^\circ

2) Найдём полную величину угла $CMB$ :

\angle CMB = \angle DMC + \angle DMB = 78^\circ + 78^\circ = 156^\circ

3) Углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ являются смежными, так как точка $M$ лежит на прямой $AB$ . Сумма смежных углов равна $180^\circ$ :

\angle CMA + \angle CMB = 180^\circ

4) Вычислим угол $\angle CMA$ :

\angle CMA = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ

Ответ: 24.

Пример 6: Связь площадей ромба и квадрата с равными сторонами

Задание (ФИПИ): Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$ , а площадь квадрата равна $64$ .

Пошаговый разбор:

1) Пусть сторона квадрата и ромба равна $a$ . Площадь квадрата вычисляется по формуле:

S_{\text{кв}} = a^2 = 64

2) Площадь ромба со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ вычисляется по формуле:

S_{\text{ромба}} = a^2 \sin \alpha

3) Так как $a^2 = 64$ , а острый угол $\alpha = 30^\circ$ , подставим известные величины:

S_{\text{ромба}} = 64 \cdot \sin 30^\circ

4) Вспомним табличное значение $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ :

S_{\text{ромба}} = 64 \cdot 0{,}5 = 32

Ответ: 32.

Как решать 12 задание ЕГЭ математика база

Для решения 12 задания на геометрию-планиметрию существует единый алгоритм, который поможет избежать ошибок при выполнении задач.

Нанесите все данные на чертёж: отметьте известные стороны, углы, центры окружностей и перпендикуляры прямо на рисунке в КИМе.

Выделите опорный прямоугольный треугольник: в большинстве задач на тригонометрию, площади или равнобедренные треугольники решение строится через проведение высоты и теорему Пифагора.

Сверьтесь со справочными материалами: откройте первую страницу экзаменационного листа и проверьте точную формулу связи элементов (теорему косинусов, синусов или площадь через синус угла).

Переведите ответ в десятичную дробь: убедитесь, что ответ выражен целым числом или конечной десятичной дробью, без значков градусов и единиц длины.

Самые распространенные ошибки

При анализе экзаменационных бланков чаще всего встречаются три характерные ошибки:

Путаница между синусом и косинусом

Для косинуса берут противолежащий катет вместо прилежащего. Всегда чётко проверяйте: $\cos$ — это прилежащий к углу катет, делённый на гипотенузу.

Забытый радиус вместо диаметра

В задачах на окружность находят длину радиуса $R = 23$ и сразу вписывают её в бланк, забывая, что в вопросе просили найти диаметр ( $d = 2R = 46$ ).

Потеря коэффициента 1/2 в площади треугольника

При вычислении площади треугольника перемножают основание и высоту ( $14 \cdot 24$ ), забывая разделить произведение на $2$ ( $S = \frac{1}{2}ah = 168$ ).

Тренажёр по 12 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Чтобы закрепить навыки решения планиметрических задач на треугольники, четырёхугольники и окружности, переходите к онлайн-тренажёру платформы Экзамео. В тренажёрах вы найдете все официальные прототипы 12 задания базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ с подробными решениями и автоматической проверкой ответов.

Задача 1

Смежные углы и биссектриса на прямой

Темы4

Задание на свойства смежных углов и биссектрисы угла, вершина которого лежит на прямойВариант 1

На прямой $XY$ отмечена точка $S$ . Луч $ST$ — биссектриса угла $ZSY$ . Известно, что $\angle ZSX = 52^\circ$ . Найдите величину угла $TSZ$ . Ответ дайте в градусах.

Ваш ответ

Задача 2

Медиана, равная половине стороны

Темы5

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на ключевой признак прямоугольного треугольника: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из которого она выходит, прямой.Вариант 1

В треугольнике $PQR$ проведена медиана $QH$ . Найдите градусную меру угла $\angle R$ , если $\angle P = 37^\circ$ и $QH = PH = HR$ .

Ваш ответ

Градусная мера и измерение угловИзмерение углов в градусахОткрыть тему

Медиана треугольникаКороткая теория и структура темы для повторения.

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведенияОсновные тригонометрические тождестваОткрыть тему Правильная пирамидаОпределение (в основании — правильный многоугольник, вершина проецируется в центр основания), свойства (боковые рёбра равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники).Открыть тему ПрямоугольникОпределение и свойства прямоугольника: прямые углы, равные диагонали, формулы периметра и площади.Открыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.

Площадь параллелограммаФормула площади параллелограммаОткрыть тему Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.Открыть тему Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.Открыть тему Усечённая пирамидаОпределение (часть пирамиды между основанием и сечением, параллельным основанию), элементы, правильная усечённая пирамида.Открыть тему Вписанная и описанная окружности четырёхугольниковВписанная окружность касается всех сторон четырёхугольника (условие — равенство сумм противоположных сторон); описанная окружность проходит через все вершины (условие — суммы противоположных углов равны 180 градусовОткрыть тему Медиана треугольникаКороткая теория и структура темы для повторения.Открыть тему Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаТри ключевых отрезка, каждый со своими свойствами. В разделе рассмотрены их определения, точки пересечения и применение в задачах.Открыть тему Преобразования выражений, содержащих квадратные корниСовокупность приёмов работы с радикалами: вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня, освобождение от иррациональности в знаменателе, приведение подобных слагаемых и использование формул сокращённого умножения.Открыть тему Прямоугольная трапецияЧастный случай трапеции с двумя прямыми углами при одной из боковых сторон; обладает всеми свойствами обычной трапеции, а её высота совпадает с длиной боковой стороны, что упрощает вычисление площади и других элементов.Открыть тему

РомбЧто такое ромб, чем он отличается от параллелограмма и квадрата, как находить его площадь через диагонали и стороны. Основные формулы и задачи.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСвойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Все типы планиметрических задач в 12 задании

Теоретическая база: основные свойства фигур и формулы

Примеры решения прототипов 12 задания

Как решать 12 задание ЕГЭ математика база

Самые распространенные ошибки

Тренажёр по 12 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании