Математика
ОГЭ по математике: темы и задания
Материалы для подготовки к ОГЭ по математике - теория и тренажеры по материалам ФИПИ
2 раздела25 заданий31 балл
Методические материалы
Темы по заданиям
5
Задание по тексту
3 темы
- 1-5 задания по тексту в ОГЭ по математикеПрактические задачи ОГЭ по математике: работа с текстом, извлечение данных и применение формул для решения. Задания на чтение, анализ и вычисления по условию.
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
- Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачи
- ОкружностьГеометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра); ключевая фигура планиметрии с множеством свойств: радиус, диаметр, хорда, касательная, центральные и вписанные углы.
6
Числа и вычисления
6 тем
- Числа и вычисленияВ разделе изучаются натуральные, целые, рациональные и действительные числа, а также действия с ними. Рассматриваются свойства арифметических операций, порядок действий, работа с дробями, процентами, степенями и корнями.
- Рациональные числа. Арифметические операции с рациональными числамиЗнакомимся с рациональными числами — числами, которые можно записать в виде обыкновенной дроби. Учимся складывать, вычитать, умножать и делить их, работать с положительными и отрицательными значениями, преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные и обратно.
- Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чиселНатуральные и целые числа, их свойства, признаки делимости чисел
- Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дробиВиды дробей, проценты, периодические дроби
- Действительные числа. Арифметические операции с действительными числамиДействительные числа и операции с ними
- Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычисленийПриближенные вычисления, округление, оценка результатов
7
Сравнения чисел и неравенства
6 тем
- Координатная прямаяКоординатная прямая, координаты точек, расстояние между точками
- Числа и вычисленияВ разделе изучаются натуральные, целые, рациональные и действительные числа, а также действия с ними. Рассматриваются свойства арифметических операций, порядок действий, работа с дробями, процентами, степенями и корнями.
- Арифметический квадратный кореньОперация, обратная возведению в квадрат, но только для неотрицательных чисел и результатов; основа для решения иррациональных уравнений и упрощения выражений.
- Свойства арифметического квадратного корняСистема правил, определяющих, как можно преобразовывать выражения под знаком корня и вне его; знание этих свойств необходимо для решения уравнений, неравенств и упрощения иррациональных выражений в заданиях ЕГЭ.
- Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степениАрифметические корни, их свойства и операции
- Преобразования выражений, содержащих квадратные корниСовокупность приёмов работы с радикалами: вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня, освобождение от иррациональности в знаменателе, приведение подобных слагаемых и использование формул сокращённого умножения.
8
Корни, степени, алгебраические выражения
6 тем
- Свойства степени с целым показателемНабор правил, позволяющих преобразовывать выражения с целыми степенями: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, возведение степени в степень, степени произведения и частного, а также определение нулевой и отрицательной степени.
- Арифметический квадратный кореньОперация, обратная возведению в квадрат, но только для неотрицательных чисел и результатов; основа для решения иррациональных уравнений и упрощения выражений.
- Свойства арифметического квадратного корняСистема правил, определяющих, как можно преобразовывать выражения под знаком корня и вне его; знание этих свойств необходимо для решения уравнений, неравенств и упрощения иррациональных выражений в заданиях ЕГЭ.
- Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степениАрифметические корни, их свойства и операции
- Преобразования выражений, содержащих квадратные корниСовокупность приёмов работы с радикалами: вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня, освобождение от иррациональности в знаменателе, приведение подобных слагаемых и использование формул сокращённого умножения.
9
Уравнения
4 темы
- Уравнения и неравенстваВ разделе изучаются различные виды уравнений и неравенств, а также методы их решения на примерах с объяснениями. Это важнейший инструмент для решения математических задач.
- Линейные уравнения с одним неизвестнымРешение линейных уравнений вида ax + b = 0
- Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравненийРешение целых, дробно-рациональных уравнений, систем и совокупностей уравнений
- Квадратные уравненияОсваиваем решение квадратных уравнений — один из ключевых навыков для успешной сдачи ОГЭ. Учимся решать полные и неполные квадратные уравнения, применять формулы дискриминанта и теорему Виета. Тренируемся быстро и без ошибок находить корни, анализировать количество решений и оформлять ответ в соответствии с требованиями экзамена.
- 9 задание ОГЭ по математике - уравнения
11
Графики функций
3 темы
- Функции и графикиРаздел знакомит с основными видами функций и их графическим представлением. На практических примерах разбираются свойства функций, преобразования графиков и их применение для анализа реальных процессов и решения задач с параметрами.
13
Неравенства
2 темы
- Уравнения и неравенстваВ разделе изучаются различные виды уравнений и неравенств, а также методы их решения на примерах с объяснениями. Это важнейший инструмент для решения математических задач.
- Квадратные неравенстваРешение квадратных неравенств с одной переменной графическим методом и методом интервалов
- Линейные неравенстваОпределение, алгоритм решения, свойства неравенств (перенос слагаемых, деление на положительное/отрицательное число), изображение решений на координатной прямой, запись ответа в виде промежутка.
14
Последовательности и прогрессии
4 темы
- Числовые последовательностиЗнакомимся с числовыми последовательностями — упорядоченными рядами чисел, построенными по определённому закону. Учимся задавать последовательности формулой n-го члена, рекуррентным способом и словесно. Разбираемся в свойствах последовательностей, определяем их вид (возрастающие, убывающие, ограниченные).
- Геометрическая прогрессияПоследовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель). Учимся находить любой член прогрессии, сумму первых n членов, а также решать практические задачи
- Арифметическая прогрессияОпределение, свойства, формулы n-го члена и суммы, разбираемся на примерах
- Сложные процентыИзучаем сложные проценты — начисление процентов на проценты (капитализация). Учимся вычислять наращенную сумму по формуле, отличать от простых процентов и применять в расчётах вкладов, кредитов и инвестиций.
15
Треугольники и их элементы
13 тем
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаТри ключевых отрезка, каждый со своими свойствами. В разделе рассмотрены их определения, точки пересечения и применение в задачах.
- Средняя линия треугольникаКлючевой элемент треугольника, обладающий двумя важнейшими свойствами: параллельность третьей стороне и равенство её половине; средняя линия отсекает от треугольника меньший подобный треугольник с коэффициентом подобия 1:2
- Формула ГеронаУникальная формула, позволяющая вычислить площадь треугольника, зная только длины его сторон, без необходимости находить высоту или углы.
- Подобные треугольникиТреугольники, имеющие одинаковую форму, но разные размеры; их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны — это свойство широко используется для нахождения неизвестных элементов фигур.
- Определение подобных треугольников
- Пропорциональные отрезки
- Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачи
- Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.
- Теорема, обратная теореме ПифагораПризнак прямоугольного треугольника, позволяющий по длинам трёх сторон определить, является ли треугольник прямоугольным, без измерения углов.
- Теорема ПифагораФундаментальная теорема геометрии, устанавливающая связь между длинами сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Теорема синусовСоотношение сторон и синусов противолежащих углов
- Теорема косинусовСоотношение сторон и косинуса угла
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
16
Задачи с окружностями
2 темы
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
17
Задачи на четырехугольники
12 тем
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
- ЧетырёхугольникПонятие четырёхугольника, его элементы
- ПрямоугольникОпределение и свойства прямоугольника: прямые углы, равные диагонали, формулы периметра и площади.
- КвадратОпределение и свойства квадрата: равные стороны, прямые углы, формулы периметра и площади.
- РомбЧто такое ромб, чем он отличается от параллелограмма и квадрата, как находить его площадь через диагонали и стороны. Основные формулы и задачи.
- ТрапецияВиды трапеций, свойства
- Формулы площади трапецииВсе формулы для нахождения площади трапеции
- Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.
- Прямоугольная трапецияЧастный случай трапеции с двумя прямыми углами при одной из боковых сторон; обладает всеми свойствами обычной трапеции, а её высота совпадает с длиной боковой стороны, что упрощает вычисление площади и других элементов.
- Средняя линия трапецииОтрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции; равен полусумме оснований и делит трапецию на две части, которые сами не являются трапециями, но обладают рядом полезных свойств.
- ПараллелограммЧетырёхугольник, обладающий рядом характерных признаков: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов, диагонали пересекаются в их общей середине.
- Теорема ВариньонаФормулировка теоремы, понятие параллелограмма Вариньона, свойства (площадь равна половине площади исходного четырёхугольника, стороны параллельны диагоналям) и задачи
- ЧетырёхугольникПонятие четырёхугольника, его элементы
19
Геометрические высказывания
20 тем
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
- Теорема МенелаяСоотношение для треугольника и секущей прямой (на сторонах или их продолжениях), применение.
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаТри ключевых отрезка, каждый со своими свойствами. В разделе рассмотрены их определения, точки пересечения и применение в задачах.
- Формула ГеронаУникальная формула, позволяющая вычислить площадь треугольника, зная только длины его сторон, без необходимости находить высоту или углы.
- Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачи
- Площадь треугольника через радиус описанной окружностиПлощадь треугольника равна отношению произведения его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности: S = abc / 4R. Применяется для нахождения площади, сторон или радиуса описанной окружности.
- Теорема синусовСоотношение сторон и синусов противолежащих углов
- Теорема косинусовСоотношение сторон и косинуса угла
- МногоугольникиЗамкнутые геометрические фигуры, образованные тремя и более отрезками (звеньями), попарно соединёнными своими концами; изучаются по числу сторон, углов, диагоналей, а также свойствам выпуклости и правильности
- Правильный многоугольникПравильный многоугольник, окружность, описанная около правильного многоугольника; окружность, вписанная в правильный многоугольник; формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности; построение правильны
- Подобные многоугольникиСвойства подобных многоугольников
- Построение правильных многоугольниковПостроение с помощью циркуля и линейки
- ОкружностьГеометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра); ключевая фигура планиметрии с множеством свойств: радиус, диаметр, хорда, касательная, центральные и вписанные углы.
- Гомотетия и ее свойстваОпределение и свойства гомотетии
- Измерительные работыПрименение тригонометрии на практике
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
20
Уравнения, неравенства и системы
3 темы
- Уравнения и неравенстваВ разделе изучаются различные виды уравнений и неравенств, а также методы их решения на примерах с объяснениями. Это важнейший инструмент для решения математических задач.
- Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравненийРешение целых, дробно-рациональных уравнений, систем и совокупностей уравнений
- Квадратные уравненияОсваиваем решение квадратных уравнений — один из ключевых навыков для успешной сдачи ОГЭ. Учимся решать полные и неполные квадратные уравнения, применять формулы дискриминанта и теорему Виета. Тренируемся быстро и без ошибок находить корни, анализировать количество решений и оформлять ответ в соответствии с требованиями экзамена.
21
Текстовые задачи
1 тема
- Уравнения и неравенстваВ разделе изучаются различные виды уравнений и неравенств, а также методы их решения на примерах с объяснениями. Это важнейший инструмент для решения математических задач.
22
Графики функций и их свойства
4 темы
- Функции и графикиРаздел знакомит с основными видами функций и их графическим представлением. На практических примерах разбираются свойства функций, преобразования графиков и их применение для анализа реальных процессов и решения задач с параметрами.
23
Геометрическая задача
17 тем
- Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСвойства углов при параллельных прямых и секущей
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
- Подобные треугольникиТреугольники, имеющие одинаковую форму, но разные размеры; их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны — это свойство широко используется для нахождения неизвестных элементов фигур.
- Второй признак подобия треугольниковЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
- Определение подобных треугольников
- Пропорциональные отрезки
- Третий признак подобия треугольников
- Первый признак подобия треугольниковПодобие по двум углам
- Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачи
- Теорема синусовСоотношение сторон и синусов противолежащих углов
- Теорема косинусовСоотношение сторон и косинуса угла
- Равнобедренный треугольникОпределение (боковые стороны и основание), свойства углов при основании, свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию (совпадение), признаки равнобедренного треугольника.
- Подобные треугольникиТреугольники, имеющие одинаковую форму, но разные размеры; их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны — это свойство широко используется для нахождения неизвестных элементов фигур.
- ЧетырёхугольникПонятие четырёхугольника, его элементы
- РомбЧто такое ромб, чем он отличается от параллелограмма и квадрата, как находить его площадь через диагонали и стороны. Основные формулы и задачи.
- ТрапецияВиды трапеций, свойства
- Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.
- Прямоугольная трапецияЧастный случай трапеции с двумя прямыми углами при одной из боковых сторон; обладает всеми свойствами обычной трапеции, а её высота совпадает с длиной боковой стороны, что упрощает вычисление площади и других элементов.
- ПараллелограммЧетырёхугольник, обладающий рядом характерных признаков: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов, диагонали пересекаются в их общей середине.
24
Геометрическая задача с доказательством
22 темы
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаТри ключевых отрезка, каждый со своими свойствами. В разделе рассмотрены их определения, точки пересечения и применение в задачах.
- Средняя линия треугольникаКлючевой элемент треугольника, обладающий двумя важнейшими свойствами: параллельность третьей стороне и равенство её половине; средняя линия отсекает от треугольника меньший подобный треугольник с коэффициентом подобия 1:2
- Формула ГеронаУникальная формула, позволяющая вычислить площадь треугольника, зная только длины его сторон, без необходимости находить высоту или углы.
- Подобные треугольникиТреугольники, имеющие одинаковую форму, но разные размеры; их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны — это свойство широко используется для нахождения неизвестных элементов фигур.
- Определение подобных треугольников
- Пропорциональные отрезки
- Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачи
- Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.
- Теорема, обратная теореме ПифагораПризнак прямоугольного треугольника, позволяющий по длинам трёх сторон определить, является ли треугольник прямоугольным, без измерения углов.
- Теорема ПифагораФундаментальная теорема геометрии, устанавливающая связь между длинами сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- МногоугольникиЗамкнутые геометрические фигуры, образованные тремя и более отрезками (звеньями), попарно соединёнными своими концами; изучаются по числу сторон, углов, диагоналей, а также свойствам выпуклости и правильности
- ОкружностьГеометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра); ключевая фигура планиметрии с множеством свойств: радиус, диаметр, хорда, касательная, центральные и вписанные углы.
- ЧетырёхугольникПонятие четырёхугольника, его элементы
- ТрапецияВиды трапеций, свойства
- Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.
- Прямоугольная трапецияЧастный случай трапеции с двумя прямыми углами при одной из боковых сторон; обладает всеми свойствами обычной трапеции, а её высота совпадает с длиной боковой стороны, что упрощает вычисление площади и других элементов.
- ПараллелограммЧетырёхугольник, обладающий рядом характерных признаков: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов, диагонали пересекаются в их общей середине.
- Теорема ВариньонаФормулировка теоремы, понятие параллелограмма Вариньона, свойства (площадь равна половине площади исходного четырёхугольника, стороны параллельны диагоналям) и задачи
- ТрапецияВиды трапеций, свойства
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
25
Геометрическая задача повышенной сложности
20 тем
- ГеометрияОдин из двух основных разделов школьной математики (наряду с алгеброй), изучающий геометрические фигуры, их свойства, измерения и взаимное расположение.
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаТри ключевых отрезка, каждый со своими свойствами. В разделе рассмотрены их определения, точки пересечения и применение в задачах.
- Средняя линия треугольникаКлючевой элемент треугольника, обладающий двумя важнейшими свойствами: параллельность третьей стороне и равенство её половине; средняя линия отсекает от треугольника меньший подобный треугольник с коэффициентом подобия 1:2
- Формула ГеронаУникальная формула, позволяющая вычислить площадь треугольника, зная только длины его сторон, без необходимости находить высоту или углы.
- Подобные треугольникиТреугольники, имеющие одинаковую форму, но разные размеры; их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны — это свойство широко используется для нахождения неизвестных элементов фигур.
- Определение подобных треугольников
- Пропорциональные отрезки
- Прямоугольные треугольникиНекоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; задачи
- Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.
- Теорема, обратная теореме ПифагораПризнак прямоугольного треугольника, позволяющий по длинам трёх сторон определить, является ли треугольник прямоугольным, без измерения углов.
- Теорема ПифагораФундаментальная теорема геометрии, устанавливающая связь между длинами сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- ОкружностьГеометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра); ключевая фигура планиметрии с множеством свойств: радиус, диаметр, хорда, касательная, центральные и вписанные углы.
- ЧетырёхугольникПонятие четырёхугольника, его элементы
- ТрапецияВиды трапеций, свойства
- Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.
- Прямоугольная трапецияЧастный случай трапеции с двумя прямыми углами при одной из боковых сторон; обладает всеми свойствами обычной трапеции, а её высота совпадает с длиной боковой стороны, что упрощает вычисление площади и других элементов.
- ПараллелограммЧетырёхугольник, обладающий рядом характерных признаков: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов, диагонали пересекаются в их общей середине.
- Теорема ВариньонаФормулировка теоремы, понятие параллелограмма Вариньона, свойства (площадь равна половине площади исходного четырёхугольника, стороны параллельны диагоналям) и задачи
- ТрапецияВиды трапеций, свойства
- ТреугольникОдна из главных фигур школьного курса геометрии, классифицируемая по сторонам и по углам.